Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5568 / 11819
↖ ↑ ↗
← S 62.052437°
W 57.656250°		 ← 1 145.07 m → S 62.052437°
W 57.634277°		 →
↑
1 144.87 m
↓
↑
1 144.87 m
↓
S 62.062733°
W 57.656250°		 ← 1 144.69 m →
1 310 738 m²		 S 62.062733°
W 57.634277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339874267578125 y=0.721405029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339874267578125 × 214)
    floor (0.339874267578125 × 16384)
    floor (5568.5)     		tx = 5568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721405029296875 × 214)
    floor (0.721405029296875 × 16384)
    floor (11819.5)     		ty = 11819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5568 / 11819 ti = "14/5568/11819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5568/11819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5568 ÷ 214
    5568 ÷ 16384     		x = 0.33984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11819 ÷ 214
    11819 ÷ 16384     		y = 0.72137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33984375 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.4427490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39093707937555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00629140} λ = -1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39093707937555))-π/2
    2×atan(0.248842010625312)-π/2
    2×0.243888494169724-π/2
    0.487776988339449-1.57079632675     		φ = -1.08301934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08301934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.052437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5568 KachelY 11819 -1.00629140 -1.08301934 -57.656250 -62.052437
    Oben rechts KachelX + 1 5569 KachelY 11819 -1.00590790 -1.08301934 -57.634277 -62.052437
    Unten links KachelX 5568 KachelY + 1 11820 -1.00629140 -1.08319904 -57.656250 -62.062733
    Unten rechts KachelX + 1 5569 KachelY + 1 11820 -1.00590790 -1.08319904 -57.634277 -62.062733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08301934--1.08319904) × R
    0.000179699999999894 × 6371000     		dl = 1144.86869999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08301934--1.08319904) × R
    0.000179699999999894 × 6371000     		dr = 1144.86869999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00629140--1.00590790) × cos(-1.08301934) × R
    0.000383500000000092 × 0.468663289324536 × 6371000     		do = 1145.07493854619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00629140--1.00590790) × cos(-1.08319904) × R
    0.000383500000000092 × 0.468504538932068 × 6371000     		du = 1144.68706712541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08301934)-sin(-1.08319904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468663289324536-0.468504538932068)×R²
    abs(-1.00590790--1.00629140)×0.000158750392467766×R²
    0.000383500000000092×0.000158750392467766×6371000²
    0.000383500000000092×0.000158750392467766×40589641000000     		ar = 1310738.42889859m²