Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55678 / 18049
↖ ↑ ↗
← N 78.277644°
W 27.075806°		 ← 62.05 m → N 78.277644°
W 27.073059°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.277085°
W 27.075806°		 ← 62.06 m →
3 851 m²		 N 78.277085°
W 27.073059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424793243408203 y=0.137706756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424793243408203 × 217)
    floor (0.424793243408203 × 131072)
    floor (55678.5)     		tx = 55678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137706756591797 × 217)
    floor (0.137706756591797 × 131072)
    floor (18049.5)     		ty = 18049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55678 / 18049 ti = "17/55678/18049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55678/18049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55678 ÷ 217
    55678 ÷ 131072     		x = 0.424789428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18049 ÷ 217
    18049 ÷ 131072     		y = 0.137702941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424789428710938 × 2 - 1) × π
    -0.150421142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47256196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137702941894531 × 2 - 1) × π
    0.724594116210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.27637955225761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47256196} λ = -0.47256196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27637955225761))-π/2
    2×atan(9.74134844636847)-π/2
    2×1.46849946781864-π/2
    2.93699893563727-1.57079632675     		φ = 1.36620261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47256196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.075806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36620261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.277644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55678 KachelY 18049 -0.47256196 1.36620261 -27.075806 78.277644
    Oben rechts KachelX + 1 55679 KachelY 18049 -0.47251402 1.36620261 -27.073059 78.277644
    Unten links KachelX 55678 KachelY + 1 18050 -0.47256196 1.36619287 -27.075806 78.277085
    Unten rechts KachelX + 1 55679 KachelY + 1 18050 -0.47251402 1.36619287 -27.073059 78.277085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36620261-1.36619287) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dl = 62.0535400005819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36620261-1.36619287) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dr = 62.0535400005819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47256196--0.47251402) × cos(1.36620261) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.203169367079926 × 6371000     		do = 62.0531542857493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47256196--0.47251402) × cos(1.36619287) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.203178903929047 × 6371000     		du = 62.0560670849493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36620261)-sin(1.36619287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203169367079926-0.203178903929047)×R²
    abs(-0.47251402--0.47256196)×9.5368491206671e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.5368491206671e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.5368491206671e-06×40589641000000     		ar = 3850.70826628447m²