Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55677 / 14695
↖ ↑ ↗
← N 80.009088°
W 27.078552°		 ← 52.98 m → N 80.009088°
W 27.075806°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.008611°
W 27.078552°		 ← 52.98 m →
2 808 m²		 N 80.008611°
W 27.075806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424785614013672 y=0.112117767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424785614013672 × 217)
    floor (0.424785614013672 × 131072)
    floor (55677.5)     		tx = 55677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112117767333984 × 217)
    floor (0.112117767333984 × 131072)
    floor (14695.5)     		ty = 14695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55677 / 14695 ti = "17/55677/14695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55677/14695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55677 ÷ 217
    55677 ÷ 131072     		x = 0.424781799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14695 ÷ 217
    14695 ÷ 131072     		y = 0.112113952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424781799316406 × 2 - 1) × π
    -0.150436401367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.47260989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112113952636719 × 2 - 1) × π
    0.775772094726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.43715991358327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47260989} λ = -0.47260989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43715991358327))-π/2
    2×atan(11.4405025431434)-π/2
    2×1.48360917355153-π/2
    2.96721834710307-1.57079632675     		φ = 1.39642202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47260989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.078552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39642202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.009088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55677 KachelY 14695 -0.47260989 1.39642202 -27.078552 80.009088
    Oben rechts KachelX + 1 55678 KachelY 14695 -0.47256196 1.39642202 -27.075806 80.009088
    Unten links KachelX 55677 KachelY + 1 14696 -0.47260989 1.39641370 -27.078552 80.008611
    Unten rechts KachelX + 1 55678 KachelY + 1 14696 -0.47256196 1.39641370 -27.075806 80.008611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39642202-1.39641370) × R
    8.31999999983957e-06 × 6371000     		dl = 53.0067199989779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39642202-1.39641370) × R
    8.31999999983957e-06 × 6371000     		dr = 53.0067199989779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47260989--0.47256196) × cos(1.39642202) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.173491966848551 × 6371000     		do = 52.9778591855373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47260989--0.47256196) × cos(1.39641370) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.173500160672112 × 6371000     		du = 52.9803612681335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39642202)-sin(1.39641370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173491966848551-0.173500160672112)×R²
    abs(-0.47256196--0.47260989)×8.19382356134768e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.19382356134768e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.19382356134768e-06×40589641000000     		ar = 2808.24886146907m²