Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55677 / 12935
↖ ↑ ↗
← N 80.813822°
W 27.078552°		 ← 48.75 m → N 80.813822°
W 27.075806°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.813383°
W 27.078552°		 ← 48.75 m →
2 379 m²		 N 80.813383°
W 27.075806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424785614013672 y=0.0986900329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424785614013672 × 217)
    floor (0.424785614013672 × 131072)
    floor (55677.5)     		tx = 55677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986900329589844 × 217)
    floor (0.0986900329589844 × 131072)
    floor (12935.5)     		ty = 12935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55677 / 12935 ti = "17/55677/12935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55677/12935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55677 ÷ 217
    55677 ÷ 131072     		x = 0.424781799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12935 ÷ 217
    12935 ÷ 131072     		y = 0.0986862182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424781799316406 × 2 - 1) × π
    -0.150436401367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.47260989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986862182617188 × 2 - 1) × π
    0.802627563476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.52152885691457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47260989} λ = -0.47260989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52152885691457))-π/2
    2×atan(12.4476127422528)-π/2
    2×1.49063180164968-π/2
    2.98126360329935-1.57079632675     		φ = 1.41046728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47260989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.078552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41046728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.813822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55677 KachelY 12935 -0.47260989 1.41046728 -27.078552 80.813822
    Oben rechts KachelX + 1 55678 KachelY 12935 -0.47256196 1.41046728 -27.075806 80.813822
    Unten links KachelX 55677 KachelY + 1 12936 -0.47260989 1.41045962 -27.078552 80.813383
    Unten rechts KachelX + 1 55678 KachelY + 1 12936 -0.47256196 1.41045962 -27.075806 80.813383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41046728-1.41045962) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41046728-1.41045962) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47260989--0.47256196) × cos(1.41046728) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.159643041956979 × 6371000     		do = 48.7489233673318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47260989--0.47256196) × cos(1.41045962) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.159650603711316 × 6371000     		du = 48.7512324399863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41046728)-sin(1.41045962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159643041956979-0.159650603711316)×R²
    abs(-0.47256196--0.47260989)×7.56175433641593e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.56175433641593e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.56175433641593e-06×40589641000000     		ar = 2379.09447697612m²