Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55674 / 18044
↖ ↑ ↗
← N 78.280433°
W 27.086792°		 ← 62.03 m → N 78.280433°
W 27.084046°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.279875°
W 27.086792°		 ← 62.03 m →
3 849 m²		 N 78.279875°
W 27.084046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424762725830078 y=0.137668609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424762725830078 × 217)
    floor (0.424762725830078 × 131072)
    floor (55674.5)     		tx = 55674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137668609619141 × 217)
    floor (0.137668609619141 × 131072)
    floor (18044.5)     		ty = 18044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55674 / 18044 ti = "17/55674/18044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55674/18044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55674 ÷ 217
    55674 ÷ 131072     		x = 0.424758911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18044 ÷ 217
    18044 ÷ 131072     		y = 0.137664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424758911132812 × 2 - 1) × π
    -0.150482177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47275370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137664794921875 × 2 - 1) × π
    0.72467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27661923675571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47275370} λ = -0.47275370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27661923675571))-π/2
    2×atan(9.74368357641772)-π/2
    2×1.46852381323578-π/2
    2.93704762647156-1.57079632675     		φ = 1.36625130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47275370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.086792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36625130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.280433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55674 KachelY 18044 -0.47275370 1.36625130 -27.086792 78.280433
    Oben rechts KachelX + 1 55675 KachelY 18044 -0.47270577 1.36625130 -27.084046 78.280433
    Unten links KachelX 55674 KachelY + 1 18045 -0.47275370 1.36624156 -27.086792 78.279875
    Unten rechts KachelX + 1 55675 KachelY + 1 18045 -0.47270577 1.36624156 -27.084046 78.279875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36625130-1.36624156) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dl = 62.0535400005819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36625130-1.36624156) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dr = 62.0535400005819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47275370--0.47270577) × cos(1.36625130) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.203121692336764 × 6371000     		do = 62.0256523089558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47275370--0.47270577) × cos(1.36624156) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.203131229282227 × 6371000     		du = 62.0285645299823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36625130)-sin(1.36624156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203121692336764-0.203131229282227)×R²
    abs(-0.47270577--0.47275370)×9.53694546276806e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.53694546276806e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.53694546276806e-06×40589641000000     		ar = 3849.00165349013m²