Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55665 / 15474
↖ ↑ ↗
← N 79.630980°
W 27.111511°		 ← 54.97 m → N 79.630980°
W 27.108765°		 →
↑
54.98 m
↓
↑
54.98 m
↓
N 79.630485°
W 27.111511°		 ← 54.98 m →
3 023 m²		 N 79.630485°
W 27.108765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424694061279297 y=0.118061065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424694061279297 × 217)
    floor (0.424694061279297 × 131072)
    floor (55665.5)     		tx = 55665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118061065673828 × 217)
    floor (0.118061065673828 × 131072)
    floor (15474.5)     		ty = 15474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55665 / 15474 ti = "17/55665/15474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55665/15474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55665 ÷ 217
    55665 ÷ 131072     		x = 0.424690246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15474 ÷ 217
    15474 ÷ 131072     		y = 0.118057250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424690246582031 × 2 - 1) × π
    -0.150619506835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47318514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118057250976562 × 2 - 1) × π
    0.763885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39981706877925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47318514} λ = -0.47318514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39981706877925))-π/2
    2×atan(11.0211600819574)-π/2
    2×1.48030955260894-π/2
    2.96061910521789-1.57079632675     		φ = 1.38982278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47318514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.111511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38982278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.630980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55665 KachelY 15474 -0.47318514 1.38982278 -27.111511 79.630980
    Oben rechts KachelX + 1 55666 KachelY 15474 -0.47313720 1.38982278 -27.108765 79.630980
    Unten links KachelX 55665 KachelY + 1 15475 -0.47318514 1.38981415 -27.111511 79.630485
    Unten rechts KachelX + 1 55666 KachelY + 1 15475 -0.47313720 1.38981415 -27.108765 79.630485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38982278-1.38981415) × R
    8.62999999995395e-06 × 6371000     		dl = 54.9817299997066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38982278-1.38981415) × R
    8.62999999995395e-06 × 6371000     		dr = 54.9817299997066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47318514--0.47313720) × cos(1.38982278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.179987306306801 × 6371000     		do = 54.972756219389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47318514--0.47313720) × cos(1.38981415) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.17999579536299 × 6371000     		du = 54.9753489956572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38982278)-sin(1.38981415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179987306306801-0.17999579536299)×R²
    abs(-0.47313720--0.47318514)×8.48905618841544e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.48905618841544e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.48905618841544e-06×40589641000000     		ar = 3022.56851753356m²