Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55664 / 18064
↖ ↑ ↗
← N 78.269270°
W 27.114258°		 ← 62.08 m → N 78.269270°
W 27.111511°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.268712°
W 27.114258°		 ← 62.09 m →
3 857 m²		 N 78.268712°
W 27.111511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424686431884766 y=0.137821197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424686431884766 × 217)
    floor (0.424686431884766 × 131072)
    floor (55664.5)     		tx = 55664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137821197509766 × 217)
    floor (0.137821197509766 × 131072)
    floor (18064.5)     		ty = 18064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55664 / 18064 ti = "17/55664/18064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55664/18064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55664 ÷ 217
    55664 ÷ 131072     		x = 0.4246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18064 ÷ 217
    18064 ÷ 131072     		y = 0.1378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47323307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    0.724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27566049876331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47323307} λ = -0.47323307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27566049876331))-π/2
    2×atan(9.73434641344872)-π/2
    2×1.46842639727694-π/2
    2.93685279455388-1.57079632675     		φ = 1.36605647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47323307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.114258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36605647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.269270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55664 KachelY 18064 -0.47323307 1.36605647 -27.114258 78.269270
    Oben rechts KachelX + 1 55665 KachelY 18064 -0.47318514 1.36605647 -27.111511 78.269270
    Unten links KachelX 55664 KachelY + 1 18065 -0.47323307 1.36604672 -27.114258 78.268712
    Unten rechts KachelX + 1 55665 KachelY + 1 18065 -0.47318514 1.36604672 -27.111511 78.268712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36605647-1.36604672) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36605647-1.36604672) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47323307--0.47318514) × cos(1.36605647) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.203312456956995 × 6371000     		do = 62.0839045806416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47323307--0.47318514) × cos(1.36604672) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.203322003307934 × 6371000     		du = 62.0868196737435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36605647)-sin(1.36604672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203312456956995-0.203322003307934)×R²
    abs(-0.47318514--0.47323307)×9.54635093922129e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.54635093922129e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.54635093922129e-06×40589641000000     		ar = 3856.57196052622m²