Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55663 / 13125
↖ ↑ ↗
← N 80.730137°
W 27.117004°		 ← 49.20 m → N 80.730137°
W 27.114258°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
N 80.729694°
W 27.117004°		 ← 49.20 m →
2 420 m²		 N 80.729694°
W 27.114258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424678802490234 y=0.100139617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424678802490234 × 217)
    floor (0.424678802490234 × 131072)
    floor (55663.5)     		tx = 55663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100139617919922 × 217)
    floor (0.100139617919922 × 131072)
    floor (13125.5)     		ty = 13125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55663 / 13125 ti = "17/55663/13125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55663/13125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55663 ÷ 217
    55663 ÷ 131072     		x = 0.424674987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13125 ÷ 217
    13125 ÷ 131072     		y = 0.100135803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424674987792969 × 2 - 1) × π
    -0.150650024414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.47328101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100135803222656 × 2 - 1) × π
    0.799728393554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.51242084598676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47328101} λ = -0.47328101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51242084598676))-π/2
    2×atan(12.3347544866705)-π/2
    2×1.48990150842051-π/2
    2.97980301684103-1.57079632675     		φ = 1.40900669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47328101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.117004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40900669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.730137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55663 KachelY 13125 -0.47328101 1.40900669 -27.117004 80.730137
    Oben rechts KachelX + 1 55664 KachelY 13125 -0.47323307 1.40900669 -27.114258 80.730137
    Unten links KachelX 55663 KachelY + 1 13126 -0.47328101 1.40899897 -27.117004 80.729694
    Unten rechts KachelX + 1 55664 KachelY + 1 13126 -0.47323307 1.40899897 -27.114258 80.729694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40900669-1.40899897) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40900669-1.40899897) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47328101--0.47323307) × cos(1.40900669) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.161084728810298 × 6371000     		do = 49.1994224996093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47328101--0.47323307) × cos(1.40899897) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.161092347986782 × 6371000     		du = 49.2017495922251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40900669)-sin(1.40899897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161084728810298-0.161092347986782)×R²
    abs(-0.47323307--0.47328101)×7.61917648389732e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.61917648389732e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.61917648389732e-06×40589641000000     		ar = 2419.88752805719m²