Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55656 / 13112
↖ ↑ ↗
← N 80.735886°
W 27.136231°		 ← 49.17 m → N 80.735886°
W 27.133484°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
N 80.735445°
W 27.136231°		 ← 49.17 m →
2 415 m²		 N 80.735445°
W 27.133484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424625396728516 y=0.100040435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424625396728516 × 217)
    floor (0.424625396728516 × 131072)
    floor (55656.5)     		tx = 55656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100040435791016 × 217)
    floor (0.100040435791016 × 131072)
    floor (13112.5)     		ty = 13112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55656 / 13112 ti = "17/55656/13112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55656/13112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55656 ÷ 217
    55656 ÷ 131072     		x = 0.42462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13112 ÷ 217
    13112 ÷ 131072     		y = 0.10003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.1507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47361657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10003662109375 × 2 - 1) × π
    0.7999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51304402568182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47361657} λ = -0.47361657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51304402568182))-π/2
    2×atan(12.3424436508268)-π/2
    2×1.48995168535448-π/2
    2.97990337070896-1.57079632675     		φ = 1.40910704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47361657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.136231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40910704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.735886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55656 KachelY 13112 -0.47361657 1.40910704 -27.136231 80.735886
    Oben rechts KachelX + 1 55657 KachelY 13112 -0.47356863 1.40910704 -27.133484 80.735886
    Unten links KachelX 55656 KachelY + 1 13113 -0.47361657 1.40909933 -27.136231 80.735445
    Unten rechts KachelX + 1 55657 KachelY + 1 13113 -0.47356863 1.40909933 -27.133484 80.735445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40910704-1.40909933) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40910704-1.40909933) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47361657--0.47356863) × cos(1.40910704) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160985688512104 × 6371000     		do = 49.1691730432435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47361657--0.47356863) × cos(1.40909933) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.16099329794379 × 6371000     		du = 49.1714971595472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40910704)-sin(1.40909933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160985688512104-0.16099329794379)×R²
    abs(-0.47356863--0.47361657)×7.60943168620631e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.60943168620631e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.60943168620631e-06×40589641000000     		ar = 2415.26701984549m²