Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55655 / 42729
↖ ↑ ↗
← N 52.946983°
W 27.138977°		 ← 184.04 m → N 52.946983°
W 27.136231°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
N 52.945328°
W 27.138977°		 ← 184.04 m →
33 862 m²		 N 52.945328°
W 27.136231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424617767333984 y=0.326000213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424617767333984 × 217)
    floor (0.424617767333984 × 131072)
    floor (55655.5)     		tx = 55655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326000213623047 × 217)
    floor (0.326000213623047 × 131072)
    floor (42729.5)     		ty = 42729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55655 / 42729 ti = "17/55655/42729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55655/42729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55655 ÷ 217
    55655 ÷ 131072     		x = 0.424613952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42729 ÷ 217
    42729 ÷ 131072     		y = 0.325996398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424613952636719 × 2 - 1) × π
    -0.150772094726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.47366451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325996398925781 × 2 - 1) × π
    0.348007202148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.09329686963462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47366451} λ = -0.47366451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09329686963462))-π/2
    2×atan(2.98409604842839)-π/2
    2×1.24744775415344-π/2
    2.49489550830688-1.57079632675     		φ = 0.92409918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47366451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.138977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92409918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.946983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55655 KachelY 42729 -0.47366451 0.92409918 -27.138977 52.946983
    Oben rechts KachelX + 1 55656 KachelY 42729 -0.47361657 0.92409918 -27.136231 52.946983
    Unten links KachelX 55655 KachelY + 1 42730 -0.47366451 0.92407030 -27.138977 52.945328
    Unten rechts KachelX + 1 55656 KachelY + 1 42730 -0.47361657 0.92407030 -27.136231 52.945328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92409918-0.92407030) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dl = 183.994480000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92409918-0.92407030) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dr = 183.994480000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47366451--0.47361657) × cos(0.92409918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60255376165337 × 6371000     		do = 184.035428542643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47366451--0.47361657) × cos(0.92407030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602576809903233 × 6371000     		du = 184.042468071414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92409918)-sin(0.92407030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60255376165337-0.602576809903233)×R²
    abs(-0.47361657--0.47366451)×2.30482498636553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30482498636553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30482498636553e-05×40589641000000     		ar = 33862.15059594m²