Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55653 / 17949
↖ ↑ ↗
← N 78.333315°
W 27.144470°		 ← 61.76 m → N 78.333315°
W 27.141724°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.332759°
W 27.144470°		 ← 61.77 m →
3 817 m²		 N 78.332759°
W 27.141724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424602508544922 y=0.136943817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424602508544922 × 217)
    floor (0.424602508544922 × 131072)
    floor (55653.5)     		tx = 55653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136943817138672 × 217)
    floor (0.136943817138672 × 131072)
    floor (17949.5)     		ty = 17949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55653 / 17949 ti = "17/55653/17949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55653/17949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55653 ÷ 217
    55653 ÷ 131072     		x = 0.424598693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17949 ÷ 217
    17949 ÷ 131072     		y = 0.136940002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424598693847656 × 2 - 1) × π
    -0.150802612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.47376038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136940002441406 × 2 - 1) × π
    0.726119995117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.28117324221961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47376038} λ = -0.47376038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28117324221961))-π/2
    2×atan(9.78815755517241)-π/2
    2×1.46898529217096-π/2
    2.93797058434192-1.57079632675     		φ = 1.36717426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47376038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.144470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36717426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.333315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55653 KachelY 17949 -0.47376038 1.36717426 -27.144470 78.333315
    Oben rechts KachelX + 1 55654 KachelY 17949 -0.47371244 1.36717426 -27.141724 78.333315
    Unten links KachelX 55653 KachelY + 1 17950 -0.47376038 1.36716456 -27.144470 78.332759
    Unten rechts KachelX + 1 55654 KachelY + 1 17950 -0.47371244 1.36716456 -27.141724 78.332759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36717426-1.36716456) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dl = 61.7987000007161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36717426-1.36716456) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dr = 61.7987000007161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47376038--0.47371244) × cos(1.36717426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202217886434859 × 6371000     		do = 61.7625476055624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47376038--0.47371244) × cos(1.36716456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202227386028748 × 6371000     		du = 61.7654490260555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36717426)-sin(1.36716456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202217886434859-0.202227386028748)×R²
    abs(-0.47371244--0.47376038)×9.49959388862887e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.49959388862887e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.49959388862887e-06×40589641000000     		ar = 3816.93480270169m²