Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55653 / 15529
↖ ↑ ↗
← N 79.603755°
W 27.144470°		 ← 55.12 m → N 79.603755°
W 27.141724°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.603259°
W 27.144470°		 ← 55.12 m →
3 037 m²		 N 79.603259°
W 27.141724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424602508544922 y=0.118480682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424602508544922 × 217)
    floor (0.424602508544922 × 131072)
    floor (55653.5)     		tx = 55653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118480682373047 × 217)
    floor (0.118480682373047 × 131072)
    floor (15529.5)     		ty = 15529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55653 / 15529 ti = "17/55653/15529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55653/15529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55653 ÷ 217
    55653 ÷ 131072     		x = 0.424598693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15529 ÷ 217
    15529 ÷ 131072     		y = 0.118476867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424598693847656 × 2 - 1) × π
    -0.150802612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.47376038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118476867675781 × 2 - 1) × π
    0.763046264648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.39718053930015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47376038} λ = -0.47376038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39718053930015))-π/2
    2×atan(10.9921407404921)-π/2
    2×1.48007197375244-π/2
    2.96014394750488-1.57079632675     		φ = 1.38934762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47376038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.144470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38934762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.603755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55653 KachelY 15529 -0.47376038 1.38934762 -27.144470 79.603755
    Oben rechts KachelX + 1 55654 KachelY 15529 -0.47371244 1.38934762 -27.141724 79.603755
    Unten links KachelX 55653 KachelY + 1 15530 -0.47376038 1.38933897 -27.144470 79.603259
    Unten rechts KachelX + 1 55654 KachelY + 1 15530 -0.47371244 1.38933897 -27.141724 79.603259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38934762-1.38933897) × R
    8.6499999998324e-06 × 6371000     		dl = 55.1091499989322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38934762-1.38933897) × R
    8.6499999998324e-06 × 6371000     		dr = 55.1091499989322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47376038--0.47371244) × cos(1.38934762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180454686100875 × 6371000     		do = 55.1155060387913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47376038--0.47371244) × cos(1.38933897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180463194089661 × 6371000     		du = 55.1181045975621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38934762)-sin(1.38933897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180454686100875-0.180463194089661)×R²
    abs(-0.47371244--0.47376038)×8.5079887859052e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.5079887859052e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.5079887859052e-06×40589641000000     		ar = 3037.44029182636m²