Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55649 / 15509
↖ ↑ ↗
← N 79.613663°
W 27.155457°		 ← 55.06 m → N 79.613663°
W 27.152710°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.613168°
W 27.155457°		 ← 55.07 m →
3 031 m²		 N 79.613168°
W 27.152710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424571990966797 y=0.118328094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424571990966797 × 217)
    floor (0.424571990966797 × 131072)
    floor (55649.5)     		tx = 55649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118328094482422 × 217)
    floor (0.118328094482422 × 131072)
    floor (15509.5)     		ty = 15509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55649 / 15509 ti = "17/55649/15509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55649/15509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55649 ÷ 217
    55649 ÷ 131072     		x = 0.424568176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15509 ÷ 217
    15509 ÷ 131072     		y = 0.118324279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424568176269531 × 2 - 1) × π
    -0.150863647460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47395213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118324279785156 × 2 - 1) × π
    0.763351440429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.39813927729255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47395213} λ = -0.47395213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39813927729255))-π/2
    2×atan(11.0026843769227)-π/2
    2×1.48015843735947-π/2
    2.96031687471894-1.57079632675     		φ = 1.38952055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47395213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.155457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38952055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.613663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55649 KachelY 15509 -0.47395213 1.38952055 -27.155457 79.613663
    Oben rechts KachelX + 1 55650 KachelY 15509 -0.47390419 1.38952055 -27.152710 79.613663
    Unten links KachelX 55649 KachelY + 1 15510 -0.47395213 1.38951191 -27.155457 79.613168
    Unten rechts KachelX + 1 55650 KachelY + 1 15510 -0.47390419 1.38951191 -27.152710 79.613168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38952055-1.38951191) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dl = 55.0454400007341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38952055-1.38951191) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dr = 55.0454400007341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47395213--0.47390419) × cos(1.38952055) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.18028459234358 × 6371000     		do = 55.063555027164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47395213--0.47390419) × cos(1.38951191) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180293090766048 × 6371000     		du = 55.0661506641351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38952055)-sin(1.38951191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18028459234358-0.180293090766048)×R²
    abs(-0.47390419--0.47395213)×8.49842246813948e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.49842246813948e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.49842246813948e-06×40589641000000     		ar = 3031.06905349508m²