Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55649 / 12939
↖ ↑ ↗
← N 80.812068°
W 27.155457°		 ← 48.77 m → N 80.812068°
W 27.152710°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.811630°
W 27.155457°		 ← 48.77 m →
2 377 m²		 N 80.811630°
W 27.152710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424571990966797 y=0.0987205505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424571990966797 × 217)
    floor (0.424571990966797 × 131072)
    floor (55649.5)     		tx = 55649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987205505371094 × 217)
    floor (0.0987205505371094 × 131072)
    floor (12939.5)     		ty = 12939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55649 / 12939 ti = "17/55649/12939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55649/12939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55649 ÷ 217
    55649 ÷ 131072     		x = 0.424568176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12939 ÷ 217
    12939 ÷ 131072     		y = 0.0987167358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424568176269531 × 2 - 1) × π
    -0.150863647460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47395213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987167358398438 × 2 - 1) × π
    0.802566528320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.52133710931609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47395213} λ = -0.47395213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52133710931609))-π/2
    2×atan(12.4452261712196)-π/2
    2×1.49061649461572-π/2
    2.98123298923143-1.57079632675     		φ = 1.41043666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47395213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.155457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41043666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.812068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55649 KachelY 12939 -0.47395213 1.41043666 -27.155457 80.812068
    Oben rechts KachelX + 1 55650 KachelY 12939 -0.47390419 1.41043666 -27.152710 80.812068
    Unten links KachelX 55649 KachelY + 1 12940 -0.47395213 1.41042901 -27.155457 80.811630
    Unten rechts KachelX + 1 55650 KachelY + 1 12940 -0.47390419 1.41042901 -27.152710 80.811630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41043666-1.41042901) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41043666-1.41042901) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47395213--0.47390419) × cos(1.41043666) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159673269174719 × 6371000     		do = 48.7683263959323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47395213--0.47390419) × cos(1.41042901) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.15968082101992 × 6371000     		du = 48.7706329238411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41043666)-sin(1.41042901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159673269174719-0.15968082101992)×R²
    abs(-0.47390419--0.47395213)×7.55184520073726e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.55184520073726e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.55184520073726e-06×40589641000000     		ar = 2376.93421503395m²