Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55648 / 15510
↖ ↑ ↗
← N 79.613168°
W 27.158203°		 ← 55.05 m → N 79.613168°
W 27.155457°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.612672°
W 27.158203°		 ← 55.06 m →
3 034 m²		 N 79.612672°
W 27.155457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424564361572266 y=0.118335723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424564361572266 × 217)
    floor (0.424564361572266 × 131072)
    floor (55648.5)     		tx = 55648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118335723876953 × 217)
    floor (0.118335723876953 × 131072)
    floor (15510.5)     		ty = 15510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55648 / 15510 ti = "17/55648/15510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55648/15510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55648 ÷ 217
    55648 ÷ 131072     		x = 0.424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15510 ÷ 217
    15510 ÷ 131072     		y = 0.118331909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.15087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47400006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118331909179688 × 2 - 1) × π
    0.763336181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39809134039293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47400006} λ = -0.47400006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39809134039293))-π/2
    2×atan(11.0021569549877)-π/2
    2×1.48015411611534-π/2
    2.96030823223069-1.57079632675     		φ = 1.38951191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47400006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38951191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.613168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55648 KachelY 15510 -0.47400006 1.38951191 -27.158203 79.613168
    Oben rechts KachelX + 1 55649 KachelY 15510 -0.47395213 1.38951191 -27.155457 79.613168
    Unten links KachelX 55648 KachelY + 1 15511 -0.47400006 1.38950326 -27.158203 79.612672
    Unten rechts KachelX + 1 55649 KachelY + 1 15511 -0.47395213 1.38950326 -27.155457 79.612672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38951191-1.38950326) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38951191-1.38950326) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47400006--0.47395213) × cos(1.38951191) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180293090766048 × 6371000     		do = 55.0546641912647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47400006--0.47395213) × cos(1.38950326) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180301599011171 × 6371000     		du = 55.0572622862672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38951191)-sin(1.38950326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180293090766048-0.180301599011171)×R²
    abs(-0.47395213--0.47400006)×8.50824512302339e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.50824512302339e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.50824512302339e-06×40589641000000     		ar = 3034.08733653415m²