Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55648 / 15447
↖ ↑ ↗
← N 79.644319°
W 27.158203°		 ← 54.89 m → N 79.644319°
W 27.155457°		 →
↑
54.92 m
↓
↑
54.92 m
↓
N 79.643825°
W 27.158203°		 ← 54.89 m →
3 015 m²		 N 79.643825°
W 27.155457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424564361572266 y=0.117855072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424564361572266 × 217)
    floor (0.424564361572266 × 131072)
    floor (55648.5)     		tx = 55648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117855072021484 × 217)
    floor (0.117855072021484 × 131072)
    floor (15447.5)     		ty = 15447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55648 / 15447 ti = "17/55648/15447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55648/15447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55648 ÷ 217
    55648 ÷ 131072     		x = 0.424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15447 ÷ 217
    15447 ÷ 131072     		y = 0.117851257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.15087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47400006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117851257324219 × 2 - 1) × π
    0.764297485351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.40111136506899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47400006} λ = -0.47400006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40111136506899))-π/2
    2×atan(11.0354339638837)-π/2
    2×1.48042595694393-π/2
    2.96085191388786-1.57079632675     		φ = 1.39005559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47400006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39005559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.644319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55648 KachelY 15447 -0.47400006 1.39005559 -27.158203 79.644319
    Oben rechts KachelX + 1 55649 KachelY 15447 -0.47395213 1.39005559 -27.155457 79.644319
    Unten links KachelX 55648 KachelY + 1 15448 -0.47400006 1.39004697 -27.158203 79.643825
    Unten rechts KachelX + 1 55649 KachelY + 1 15448 -0.47395213 1.39004697 -27.155457 79.643825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39005559-1.39004697) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dl = 54.9180200000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39005559-1.39004697) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dr = 54.9180200000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47400006--0.47395213) × cos(1.39005559) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.179758293466899 × 6371000     		do = 54.891357402358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47400006--0.47395213) × cos(1.39004697) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.179766773047395 × 6371000     		du = 54.8939467442718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39005559)-sin(1.39004697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179758293466899-0.179766773047395)×R²
    abs(-0.47395213--0.47400006)×8.47958049587927e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.47958049587927e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.47958049587927e-06×40589641000000     		ar = 3014.59576460214m²