Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55647 / 15511
↖ ↑ ↗
← N 79.612672°
W 27.160950°		 ← 55.07 m → N 79.612672°
W 27.158203°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.612177°
W 27.160950°		 ← 55.07 m →
3 031 m²		 N 79.612177°
W 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424556732177734 y=0.118343353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424556732177734 × 217)
    floor (0.424556732177734 × 131072)
    floor (55647.5)     		tx = 55647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118343353271484 × 217)
    floor (0.118343353271484 × 131072)
    floor (15511.5)     		ty = 15511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55647 / 15511 ti = "17/55647/15511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55647/15511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55647 ÷ 217
    55647 ÷ 131072     		x = 0.424552917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15511 ÷ 217
    15511 ÷ 131072     		y = 0.118339538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424552917480469 × 2 - 1) × π
    -0.150894165039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.47404800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118339538574219 × 2 - 1) × π
    0.763320922851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.39804340349331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47404800} λ = -0.47404800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39804340349331))-π/2
    2×atan(11.0016295583351)-π/2
    2×1.48014979466746-π/2
    2.96029958933492-1.57079632675     		φ = 1.38950326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47404800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.160950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38950326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.612672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55647 KachelY 15511 -0.47404800 1.38950326 -27.160950 79.612672
    Oben rechts KachelX + 1 55648 KachelY 15511 -0.47400006 1.38950326 -27.158203 79.612672
    Unten links KachelX 55647 KachelY + 1 15512 -0.47404800 1.38949462 -27.160950 79.612177
    Unten rechts KachelX + 1 55648 KachelY + 1 15512 -0.47400006 1.38949462 -27.158203 79.612177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38950326-1.38949462) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dl = 55.0454399993194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38950326-1.38949462) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dr = 55.0454399993194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47404800--0.47400006) × cos(1.38950326) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180301599011171 × 6371000     		do = 55.0687493011979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47404800--0.47400006) × cos(1.38949462) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180310097406705 × 6371000     		du = 55.0713449299427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38950326)-sin(1.38949462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180301599011171-0.180310097406705)×R²
    abs(-0.47400006--0.47404800)×8.49839553410114e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.49839553410114e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.49839553410114e-06×40589641000000     		ar = 3031.35497409504m²