Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55647 / 13084
↖ ↑ ↗
← N 80.748259°
W 27.160950°		 ← 49.10 m → N 80.748259°
W 27.158203°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
N 80.747817°
W 27.160950°		 ← 49.11 m →
2 412 m²		 N 80.747817°
W 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424556732177734 y=0.0998268127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424556732177734 × 217)
    floor (0.424556732177734 × 131072)
    floor (55647.5)     		tx = 55647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998268127441406 × 217)
    floor (0.0998268127441406 × 131072)
    floor (13084.5)     		ty = 13084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55647 / 13084 ti = "17/55647/13084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55647/13084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55647 ÷ 217
    55647 ÷ 131072     		x = 0.424552917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13084 ÷ 217
    13084 ÷ 131072     		y = 0.099822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424552917480469 × 2 - 1) × π
    -0.150894165039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.47404800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099822998046875 × 2 - 1) × π
    0.80035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51438625887119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47404800} λ = -0.47404800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51438625887119))-π/2
    2×atan(12.3590212113199)-π/2
    2×1.49005965398789-π/2
    2.98011930797578-1.57079632675     		φ = 1.40932298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47404800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.160950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40932298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.748259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55647 KachelY 13084 -0.47404800 1.40932298 -27.160950 80.748259
    Oben rechts KachelX + 1 55648 KachelY 13084 -0.47400006 1.40932298 -27.158203 80.748259
    Unten links KachelX 55647 KachelY + 1 13085 -0.47404800 1.40931527 -27.160950 80.747817
    Unten rechts KachelX + 1 55648 KachelY + 1 13085 -0.47400006 1.40931527 -27.158203 80.747817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40932298-1.40931527) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40932298-1.40931527) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47404800--0.47400006) × cos(1.40932298) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160772561321776 × 6371000     		do = 49.1040785134236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47404800--0.47400006) × cos(1.40931527) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160780171021316 × 6371000     		du = 49.1064027115367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40932298)-sin(1.40931527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160772561321776-0.160780171021316)×R²
    abs(-0.47400006--0.47404800)×7.60969953977897e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.60969953977897e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.60969953977897e-06×40589641000000     		ar = 2412.06955193213m²