Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55647 / 12941
↖ ↑ ↗
← N 80.811191°
W 27.160950°		 ← 48.77 m → N 80.811191°
W 27.158203°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
N 80.810752°
W 27.160950°		 ← 48.78 m →
2 377 m²		 N 80.810752°
W 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424556732177734 y=0.0987358093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424556732177734 × 217)
    floor (0.424556732177734 × 131072)
    floor (55647.5)     		tx = 55647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987358093261719 × 217)
    floor (0.0987358093261719 × 131072)
    floor (12941.5)     		ty = 12941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55647 / 12941 ti = "17/55647/12941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55647/12941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55647 ÷ 217
    55647 ÷ 131072     		x = 0.424552917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12941 ÷ 217
    12941 ÷ 131072     		y = 0.0987319946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424552917480469 × 2 - 1) × π
    -0.150894165039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.47404800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987319946289062 × 2 - 1) × π
    0.802536010742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.52124123551685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47404800} λ = -0.47404800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52124123551685))-π/2
    2×atan(12.4440330572992)-π/2
    2×1.49060884001213-π/2
    2.98121768002426-1.57079632675     		φ = 1.41042135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47404800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.160950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41042135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.811191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55647 KachelY 12941 -0.47404800 1.41042135 -27.160950 80.811191
    Oben rechts KachelX + 1 55648 KachelY 12941 -0.47400006 1.41042135 -27.158203 80.811191
    Unten links KachelX 55647 KachelY + 1 12942 -0.47404800 1.41041370 -27.160950 80.810752
    Unten rechts KachelX + 1 55648 KachelY + 1 12942 -0.47400006 1.41041370 -27.158203 80.810752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41042135-1.41041370) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41042135-1.41041370) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47404800--0.47400006) × cos(1.41042135) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159688382727451 × 6371000     		do = 48.7729424639593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47404800--0.47400006) × cos(1.41041370) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159695934553949 × 6371000     		du = 48.7752489861559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41042135)-sin(1.41041370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159688382727451-0.159695934553949)×R²
    abs(-0.47400006--0.47404800)×7.5518264982255e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.5518264982255e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.5518264982255e-06×40589641000000     		ar = 2377.15919354749m²