Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55646 / 15421
↖ ↑ ↗
← N 79.657147°
W 27.163696°		 ← 54.84 m → N 79.657147°
W 27.160950°		 →
↑
54.79 m
↓
↑
54.79 m
↓
N 79.656654°
W 27.163696°		 ← 54.84 m →
3 005 m²		 N 79.656654°
W 27.160950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424549102783203 y=0.117656707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424549102783203 × 217)
    floor (0.424549102783203 × 131072)
    floor (55646.5)     		tx = 55646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117656707763672 × 217)
    floor (0.117656707763672 × 131072)
    floor (15421.5)     		ty = 15421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55646 / 15421 ti = "17/55646/15421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55646/15421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55646 ÷ 217
    55646 ÷ 131072     		x = 0.424545288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15421 ÷ 217
    15421 ÷ 131072     		y = 0.117652893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424545288085938 × 2 - 1) × π
    -0.150909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47409594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117652893066406 × 2 - 1) × π
    0.764694213867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.40235772445911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47409594} λ = -0.47409594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40235772445911))-π/2
    2×atan(11.049196655477)-π/2
    2×1.48053791001882-π/2
    2.96107582003765-1.57079632675     		φ = 1.39027949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47409594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.163696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39027949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.657147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55646 KachelY 15421 -0.47409594 1.39027949 -27.163696 79.657147
    Oben rechts KachelX + 1 55647 KachelY 15421 -0.47404800 1.39027949 -27.160950 79.657147
    Unten links KachelX 55646 KachelY + 1 15422 -0.47409594 1.39027089 -27.163696 79.656654
    Unten rechts KachelX + 1 55647 KachelY + 1 15422 -0.47404800 1.39027089 -27.160950 79.656654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39027949-1.39027089) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dl = 54.7905999994536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39027949-1.39027089) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dr = 54.7905999994536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47409594--0.47404800) × cos(1.39027949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179538036112833 × 6371000     		do = 54.8355375378727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47409594--0.47404800) × cos(1.39027089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179546496365071 × 6371000     		du = 54.8381215166732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39027949)-sin(1.39027089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179538036112833-0.179546496365071)×R²
    abs(-0.47404800--0.47409594)×8.46025223844027e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.46025223844027e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.46025223844027e-06×40589641000000     		ar = 3004.54279183367m²