Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55645 / 15537
↖ ↑ ↗
← N 79.599789°
W 27.166443°		 ← 55.12 m → N 79.599789°
W 27.163696°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.599293°
W 27.166443°		 ← 55.13 m →
3 038 m²		 N 79.599293°
W 27.163696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424541473388672 y=0.118541717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424541473388672 × 217)
    floor (0.424541473388672 × 131072)
    floor (55645.5)     		tx = 55645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118541717529297 × 217)
    floor (0.118541717529297 × 131072)
    floor (15537.5)     		ty = 15537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55645 / 15537 ti = "17/55645/15537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55645/15537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55645 ÷ 217
    55645 ÷ 131072     		x = 0.424537658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15537 ÷ 217
    15537 ÷ 131072     		y = 0.118537902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424537658691406 × 2 - 1) × π
    -0.150924682617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.47414387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118537902832031 × 2 - 1) × π
    0.762924194335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.39679704410319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47414387} λ = -0.47414387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39679704410319))-π/2
    2×atan(10.9879261155097)-π/2
    2×1.48003736547321-π/2
    2.96007473094641-1.57079632675     		φ = 1.38927840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47414387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.166443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38927840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.599789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55645 KachelY 15537 -0.47414387 1.38927840 -27.166443 79.599789
    Oben rechts KachelX + 1 55646 KachelY 15537 -0.47409594 1.38927840 -27.163696 79.599789
    Unten links KachelX 55645 KachelY + 1 15538 -0.47414387 1.38926975 -27.166443 79.599293
    Unten rechts KachelX + 1 55646 KachelY + 1 15538 -0.47409594 1.38926975 -27.163696 79.599293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38927840-1.38926975) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38927840-1.38926975) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47414387--0.47409594) × cos(1.38927840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180522769304468 × 6371000     		do = 55.1247992960677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47414387--0.47409594) × cos(1.38926975) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180531277185183 × 6371000     		du = 55.127397279794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38927840)-sin(1.38926975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180522769304468-0.180531277185183)×R²
    abs(-0.47409594--0.47414387)×8.5078807154082e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.5078807154082e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.5078807154082e-06×40589641000000     		ar = 3037.95241949637m²