Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55645 / 13086
↖ ↑ ↗
← N 80.747376°
W 27.166443°		 ← 49.10 m → N 80.747376°
W 27.163696°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
N 80.746934°
W 27.166443°		 ← 49.10 m →
2 412 m²		 N 80.746934°
W 27.163696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424541473388672 y=0.0998420715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424541473388672 × 217)
    floor (0.424541473388672 × 131072)
    floor (55645.5)     		tx = 55645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998420715332031 × 217)
    floor (0.0998420715332031 × 131072)
    floor (13086.5)     		ty = 13086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55645 / 13086 ti = "17/55645/13086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55645/13086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55645 ÷ 217
    55645 ÷ 131072     		x = 0.424537658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13086 ÷ 217
    13086 ÷ 131072     		y = 0.0998382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424537658691406 × 2 - 1) × π
    -0.150924682617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.47414387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998382568359375 × 2 - 1) × π
    0.800323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51429038507195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47414387} λ = -0.47414387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51429038507195))-π/2
    2×atan(12.3578363618004)-π/2
    2×1.49005194668516-π/2
    2.98010389337032-1.57079632675     		φ = 1.40930757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47414387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.166443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40930757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.747376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55645 KachelY 13086 -0.47414387 1.40930757 -27.166443 80.747376
    Oben rechts KachelX + 1 55646 KachelY 13086 -0.47409594 1.40930757 -27.163696 80.747376
    Unten links KachelX 55645 KachelY + 1 13087 -0.47414387 1.40929986 -27.166443 80.746934
    Unten rechts KachelX + 1 55646 KachelY + 1 13087 -0.47409594 1.40929986 -27.163696 80.746934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40930757-1.40929986) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40930757-1.40929986) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47414387--0.47409594) × cos(1.40930757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160787770841409 × 6371000     		do = 49.0984801033374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47414387--0.47409594) × cos(1.40929986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160795380521845 × 6371000     		du = 49.1008038108032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40930757)-sin(1.40929986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160787770841409-0.160795380521845)×R²
    abs(-0.47409594--0.47414387)×7.60968043686527e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.60968043686527e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.60968043686527e-06×40589641000000     		ar = 2411.79454365545m²