Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55644 / 15536
↖ ↑ ↗
← N 79.600285°
W 27.169189°		 ← 55.13 m → N 79.600285°
W 27.166443°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.599789°
W 27.169189°		 ← 55.14 m →
3 042 m²		 N 79.599789°
W 27.166443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424533843994141 y=0.118534088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424533843994141 × 217)
    floor (0.424533843994141 × 131072)
    floor (55644.5)     		tx = 55644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118534088134766 × 217)
    floor (0.118534088134766 × 131072)
    floor (15536.5)     		ty = 15536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55644 / 15536 ti = "17/55644/15536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55644/15536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55644 ÷ 217
    55644 ÷ 131072     		x = 0.424530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15536 ÷ 217
    15536 ÷ 131072     		y = 0.1185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.15093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47419181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1185302734375 × 2 - 1) × π
    0.762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47419181} λ = -0.47419181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39684498100281))-π/2
    2×atan(10.988452855246)-π/2
    2×1.48004169222204-π/2
    2.96008338444409-1.57079632675     		φ = 1.38928706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47419181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.169189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38928706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.600285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55644 KachelY 15536 -0.47419181 1.38928706 -27.169189 79.600285
    Oben rechts KachelX + 1 55645 KachelY 15536 -0.47414387 1.38928706 -27.166443 79.600285
    Unten links KachelX 55644 KachelY + 1 15537 -0.47419181 1.38927840 -27.169189 79.599789
    Unten rechts KachelX + 1 55645 KachelY + 1 15537 -0.47414387 1.38927840 -27.166443 79.599789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38928706-1.38927840) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38928706-1.38927840) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47419181--0.47414387) × cos(1.38928706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180514251574522 × 6371000     		do = 55.1336988676583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47419181--0.47414387) × cos(1.38927840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180522769304468 × 6371000     		du = 55.1363004016302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38928706)-sin(1.38927840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180514251574522-0.180522769304468)×R²
    abs(-0.47414387--0.47419181)×8.5177299461725e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.5177299461725e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.5177299461725e-06×40589641000000     		ar = 3041.95561599392m²