Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55644 / 15500
↖ ↑ ↗
← N 79.618118°
W 27.169189°		 ← 55.04 m → N 79.618118°
W 27.166443°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.617623°
W 27.169189°		 ← 55.04 m →
3 030 m²		 N 79.617623°
W 27.166443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424533843994141 y=0.118259429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424533843994141 × 217)
    floor (0.424533843994141 × 131072)
    floor (55644.5)     		tx = 55644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118259429931641 × 217)
    floor (0.118259429931641 × 131072)
    floor (15500.5)     		ty = 15500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55644 / 15500 ti = "17/55644/15500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55644/15500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55644 ÷ 217
    55644 ÷ 131072     		x = 0.424530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15500 ÷ 217
    15500 ÷ 131072     		y = 0.118255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.15093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47419181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118255615234375 × 2 - 1) × π
    0.76348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39857070938913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47419181} λ = -0.47419181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39857070938913))-π/2
    2×atan(11.0074323122436)-π/2
    2×1.48019731938907-π/2
    2.96039463877814-1.57079632675     		φ = 1.38959831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47419181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.169189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38959831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.618118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55644 KachelY 15500 -0.47419181 1.38959831 -27.169189 79.618118
    Oben rechts KachelX + 1 55645 KachelY 15500 -0.47414387 1.38959831 -27.166443 79.618118
    Unten links KachelX 55644 KachelY + 1 15501 -0.47419181 1.38958967 -27.169189 79.617623
    Unten rechts KachelX + 1 55645 KachelY + 1 15501 -0.47414387 1.38958967 -27.166443 79.617623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38959831-1.38958967) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dl = 55.0454399993194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38959831-1.38958967) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dr = 55.0454399993194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47419181--0.47414387) × cos(1.38959831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180208105935826 × 6371000     		do = 55.040194109412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47419181--0.47414387) × cos(1.38958967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180216604479395 × 6371000     		du = 55.0427897833704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38959831)-sin(1.38958967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180208105935826-0.180216604479395)×R²
    abs(-0.47414387--0.47419181)×8.49854356863022e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.49854356863022e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.49854356863022e-06×40589641000000     		ar = 3029.78314228518m²