Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55643 / 15535
↖ ↑ ↗
← N 79.600781°
W 27.171936°		 ← 55.13 m → N 79.600781°
W 27.169189°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.600285°
W 27.171936°		 ← 55.13 m →
3 038 m²		 N 79.600285°
W 27.169189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424526214599609 y=0.118526458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424526214599609 × 217)
    floor (0.424526214599609 × 131072)
    floor (55643.5)     		tx = 55643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118526458740234 × 217)
    floor (0.118526458740234 × 131072)
    floor (15535.5)     		ty = 15535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55643 / 15535 ti = "17/55643/15535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55643/15535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55643 ÷ 217
    55643 ÷ 131072     		x = 0.424522399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15535 ÷ 217
    15535 ÷ 131072     		y = 0.118522644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424522399902344 × 2 - 1) × π
    -0.150955200195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.47423975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118522644042969 × 2 - 1) × π
    0.762954711914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.39689291790243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47423975} λ = -0.47423975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39689291790243))-π/2
    2×atan(10.9889796202331)-π/2
    2×1.48004601876688-π/2
    2.96009203753376-1.57079632675     		φ = 1.38929571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47423975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.171936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38929571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.600781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55643 KachelY 15535 -0.47423975 1.38929571 -27.171936 79.600781
    Oben rechts KachelX + 1 55644 KachelY 15535 -0.47419181 1.38929571 -27.169189 79.600781
    Unten links KachelX 55643 KachelY + 1 15536 -0.47423975 1.38928706 -27.171936 79.600285
    Unten rechts KachelX + 1 55644 KachelY + 1 15536 -0.47419181 1.38928706 -27.169189 79.600285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38929571-1.38928706) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38929571-1.38928706) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47423975--0.47419181) × cos(1.38929571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180505743666777 × 6371000     		do = 55.1311003337034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47423975--0.47419181) × cos(1.38928706) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180514251574522 × 6371000     		du = 55.1336988677221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38929571)-sin(1.38928706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180505743666777-0.180514251574522)×R²
    abs(-0.47419181--0.47423975)×8.50790774470367e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.50790774470367e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.50790774470367e-06×40589641000000     		ar = 3038.29967950673m²