Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55642 / 12951
↖ ↑ ↗
← N 80.806804°
W 27.174682°		 ← 48.79 m → N 80.806804°
W 27.171936°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.806365°
W 27.174682°		 ← 48.79 m →
2 381 m²		 N 80.806365°
W 27.171936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424518585205078 y=0.0988121032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424518585205078 × 217)
    floor (0.424518585205078 × 131072)
    floor (55642.5)     		tx = 55642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988121032714844 × 217)
    floor (0.0988121032714844 × 131072)
    floor (12951.5)     		ty = 12951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55642 / 12951 ti = "17/55642/12951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55642/12951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55642 ÷ 217
    55642 ÷ 131072     		x = 0.424514770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12951 ÷ 217
    12951 ÷ 131072     		y = 0.0988082885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424514770507812 × 2 - 1) × π
    -0.150970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47428768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988082885742188 × 2 - 1) × π
    0.802383422851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.52076186652065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47428768} λ = -0.47428768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52076186652065))-π/2
    2×atan(12.4380692032214)-π/2
    2×1.49057055612548-π/2
    2.98114111225096-1.57079632675     		φ = 1.41034479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47428768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.174682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41034479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.806804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55642 KachelY 12951 -0.47428768 1.41034479 -27.174682 80.806804
    Oben rechts KachelX + 1 55643 KachelY 12951 -0.47423975 1.41034479 -27.171936 80.806804
    Unten links KachelX 55642 KachelY + 1 12952 -0.47428768 1.41033713 -27.174682 80.806365
    Unten rechts KachelX + 1 55643 KachelY + 1 12952 -0.47423975 1.41033713 -27.171936 80.806365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41034479-1.41033713) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41034479-1.41033713) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47428768--0.47423975) × cos(1.41034479) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.159763959801134 × 6371000     		do = 48.7858470856861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47428768--0.47423975) × cos(1.41033713) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.159771521405621 × 6371000     		du = 48.7881561125824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41034479)-sin(1.41033713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159763959801134-0.159771521405621)×R²
    abs(-0.47423975--0.47428768)×7.56160448711629e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.56160448711629e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.56160448711629e-06×40589641000000     		ar = 2380.89642173911m²