Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55641 / 15427
↖ ↑ ↗
← N 79.654188°
W 27.177429°		 ← 54.85 m → N 79.654188°
W 27.174682°		 →
↑
54.85 m
↓
↑
54.85 m
↓
N 79.653695°
W 27.177429°		 ← 54.85 m →
3 009 m²		 N 79.653695°
W 27.174682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424510955810547 y=0.117702484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424510955810547 × 217)
    floor (0.424510955810547 × 131072)
    floor (55641.5)     		tx = 55641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117702484130859 × 217)
    floor (0.117702484130859 × 131072)
    floor (15427.5)     		ty = 15427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55641 / 15427 ti = "17/55641/15427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55641/15427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55641 ÷ 217
    55641 ÷ 131072     		x = 0.424507141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15427 ÷ 217
    15427 ÷ 131072     		y = 0.117698669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424507141113281 × 2 - 1) × π
    -0.150985717773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.47433562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117698669433594 × 2 - 1) × π
    0.764602661132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.40207010306139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47433562} λ = -0.47433562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40207010306139))-π/2
    2×atan(11.0460191270757)-π/2
    2×1.48051208687572-π/2
    2.96102417375144-1.57079632675     		φ = 1.39022785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47433562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.177429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39022785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.654188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55641 KachelY 15427 -0.47433562 1.39022785 -27.177429 79.654188
    Oben rechts KachelX + 1 55642 KachelY 15427 -0.47428768 1.39022785 -27.174682 79.654188
    Unten links KachelX 55641 KachelY + 1 15428 -0.47433562 1.39021924 -27.177429 79.653695
    Unten rechts KachelX + 1 55642 KachelY + 1 15428 -0.47428768 1.39021924 -27.174682 79.653695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39022785-1.39021924) × R
    8.6100000000755e-06 × 6371000     		dl = 54.854310000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39022785-1.39021924) × R
    8.6100000000755e-06 × 6371000     		dr = 54.854310000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47433562--0.47428768) × cos(1.39022785) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.179588836776733 × 6371000     		do = 54.8510533683004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47433562--0.47428768) × cos(1.39021924) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.179597306786627 × 6371000     		du = 54.85364032734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39022785)-sin(1.39021924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179588836776733-0.179597306786627)×R²
    abs(-0.47428768--0.47433562)×8.4700098940127e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.4700098940127e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.4700098940127e-06×40589641000000     		ar = 3008.88763828764m²