Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55640 / 42775
↖ ↑ ↗
← N 52.870788°
W 27.180176°		 ← 184.36 m → N 52.870788°
W 27.177429°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
N 52.869130°
W 27.180176°		 ← 184.37 m →
33 980 m²		 N 52.869130°
W 27.177429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424503326416016 y=0.326351165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424503326416016 × 217)
    floor (0.424503326416016 × 131072)
    floor (55640.5)     		tx = 55640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326351165771484 × 217)
    floor (0.326351165771484 × 131072)
    floor (42775.5)     		ty = 42775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55640 / 42775 ti = "17/55640/42775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55640/42775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55640 ÷ 217
    55640 ÷ 131072     		x = 0.42449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42775 ÷ 217
    42775 ÷ 131072     		y = 0.326347351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47438356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326347351074219 × 2 - 1) × π
    0.347305297851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.0910917722521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47438356} λ = -0.47438356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0910917722521))-π/2
    2×atan(2.97752307572865)-π/2
    2×1.24678282457583-π/2
    2.49356564915166-1.57079632675     		φ = 0.92276932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47438356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92276932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.870788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55640 KachelY 42775 -0.47438356 0.92276932 -27.180176 52.870788
    Oben rechts KachelX + 1 55641 KachelY 42775 -0.47433562 0.92276932 -27.177429 52.870788
    Unten links KachelX 55640 KachelY + 1 42776 -0.47438356 0.92274039 -27.180176 52.869130
    Unten rechts KachelX + 1 55641 KachelY + 1 42776 -0.47433562 0.92274039 -27.177429 52.869130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92276932-0.92274039) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dl = 184.313030000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92276932-0.92274039) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dr = 184.313030000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47438356--0.47433562) × cos(0.92276932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603614560924992 × 6371000     		do = 184.35942394517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47438356--0.47433562) × cos(0.92274039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603637625875086 × 6371000     		du = 184.36646857462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92276932)-sin(0.92274039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603614560924992-0.603637625875086)×R²
    abs(-0.47433562--0.47438356)×2.3064950093854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3064950093854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3064950093854e-05×40589641000000     		ar = 33980.4932472792m²