Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55640 / 17304
↖ ↑ ↗
← N 78.686181°
W 27.180176°		 ← 59.92 m → N 78.686181°
W 27.177429°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.685642°
W 27.180176°		 ← 59.92 m →
3 592 m²		 N 78.685642°
W 27.177429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424503326416016 y=0.132022857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424503326416016 × 217)
    floor (0.424503326416016 × 131072)
    floor (55640.5)     		tx = 55640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132022857666016 × 217)
    floor (0.132022857666016 × 131072)
    floor (17304.5)     		ty = 17304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55640 / 17304 ti = "17/55640/17304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55640/17304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55640 ÷ 217
    55640 ÷ 131072     		x = 0.42449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17304 ÷ 217
    17304 ÷ 131072     		y = 0.13201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47438356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13201904296875 × 2 - 1) × π
    0.7359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31209254247455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47438356} λ = -0.47438356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31209254247455))-π/2
    2×atan(10.0955278885166)-π/2
    2×1.47206463275853-π/2
    2.94412926551706-1.57079632675     		φ = 1.37333294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47438356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37333294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.686181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55640 KachelY 17304 -0.47438356 1.37333294 -27.180176 78.686181
    Oben rechts KachelX + 1 55641 KachelY 17304 -0.47433562 1.37333294 -27.177429 78.686181
    Unten links KachelX 55640 KachelY + 1 17305 -0.47438356 1.37332353 -27.180176 78.685642
    Unten rechts KachelX + 1 55641 KachelY + 1 17305 -0.47433562 1.37332353 -27.177429 78.685642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37333294-1.37332353) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dl = 59.9511100006276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37333294-1.37332353) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dr = 59.9511100006276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47438356--0.47433562) × cos(1.37333294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196182644478591 × 6371000     		do = 59.9192293649913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47438356--0.47433562) × cos(1.37332353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196191871608871 × 6371000     		du = 59.9220475680851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37333294)-sin(1.37332353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196182644478591-0.196191871608871)×R²
    abs(-0.47433562--0.47438356)×9.22713027975974e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.22713027975974e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.22713027975974e-06×40589641000000     		ar = 3592.30878797951m²