Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55640 / 15512
↖ ↑ ↗
← N 79.612177°
W 27.180176°		 ← 55.07 m → N 79.612177°
W 27.177429°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.611682°
W 27.180176°		 ← 55.07 m →
3 031 m²		 N 79.611682°
W 27.177429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424503326416016 y=0.118350982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424503326416016 × 217)
    floor (0.424503326416016 × 131072)
    floor (55640.5)     		tx = 55640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118350982666016 × 217)
    floor (0.118350982666016 × 131072)
    floor (15512.5)     		ty = 15512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55640 / 15512 ti = "17/55640/15512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55640/15512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55640 ÷ 217
    55640 ÷ 131072     		x = 0.42449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15512 ÷ 217
    15512 ÷ 131072     		y = 0.11834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47438356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11834716796875 × 2 - 1) × π
    0.7633056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39799546659369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47438356} λ = -0.47438356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39799546659369))-π/2
    2×atan(11.0011021869637)-π/2
    2×1.48014547301581-π/2
    2.96029094603161-1.57079632675     		φ = 1.38949462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47438356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38949462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.612177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55640 KachelY 15512 -0.47438356 1.38949462 -27.180176 79.612177
    Oben rechts KachelX + 1 55641 KachelY 15512 -0.47433562 1.38949462 -27.177429 79.612177
    Unten links KachelX 55640 KachelY + 1 15513 -0.47438356 1.38948598 -27.180176 79.611682
    Unten rechts KachelX + 1 55641 KachelY + 1 15513 -0.47433562 1.38948598 -27.177429 79.611682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38949462-1.38948598) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dl = 55.0454400007341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38949462-1.38948598) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dr = 55.0454400007341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47438356--0.47433562) × cos(1.38949462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180310097406705 × 6371000     		do = 55.071344929879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47438356--0.47433562) × cos(1.38948598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18031859578878 × 6371000     		du = 55.0739405545128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38949462)-sin(1.38948598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180310097406705-0.18031859578878)×R²
    abs(-0.47433562--0.47438356)×8.49838207422904e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.49838207422904e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.49838207422904e-06×40589641000000     		ar = 3031.49785186626m²