Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55640 / 12952
↖ ↑ ↗
← N 80.806365°
W 27.180176°		 ← 48.80 m → N 80.806365°
W 27.177429°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.805926°
W 27.180176°		 ← 48.80 m →
2 382 m²		 N 80.805926°
W 27.177429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424503326416016 y=0.0988197326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424503326416016 × 217)
    floor (0.424503326416016 × 131072)
    floor (55640.5)     		tx = 55640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988197326660156 × 217)
    floor (0.0988197326660156 × 131072)
    floor (12952.5)     		ty = 12952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55640 / 12952 ti = "17/55640/12952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55640/12952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55640 ÷ 217
    55640 ÷ 131072     		x = 0.42449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12952 ÷ 217
    12952 ÷ 131072     		y = 0.09881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47438356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09881591796875 × 2 - 1) × π
    0.8023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52071392962103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47438356} λ = -0.47438356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52071392962103))-π/2
    2×atan(12.4374729750374)-π/2
    2×1.49056672674031-π/2
    2.98113345348063-1.57079632675     		φ = 1.41033713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47438356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41033713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.806365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55640 KachelY 12952 -0.47438356 1.41033713 -27.180176 80.806365
    Oben rechts KachelX + 1 55641 KachelY 12952 -0.47433562 1.41033713 -27.177429 80.806365
    Unten links KachelX 55640 KachelY + 1 12953 -0.47438356 1.41032947 -27.180176 80.805926
    Unten rechts KachelX + 1 55641 KachelY + 1 12953 -0.47433562 1.41032947 -27.177429 80.805926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41033713-1.41032947) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41033713-1.41032947) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47438356--0.47433562) × cos(1.41033713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159771521405621 × 6371000     		do = 48.7983351562058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47438356--0.47433562) × cos(1.41032947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159779083000734 × 6371000     		du = 48.8006446619886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41033713)-sin(1.41032947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159771521405621-0.159779083000734)×R²
    abs(-0.47433562--0.47438356)×7.56159511261512e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56159511261512e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56159511261512e-06×40589641000000     		ar = 2381.50587477775m²