Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55636 / 14836
↖ ↑ ↗
← N 79.941676°
W 27.191162°		 ← 53.34 m → N 79.941676°
W 27.188416°		 →
↑
53.33 m
↓
↑
53.33 m
↓
N 79.941197°
W 27.191162°		 ← 53.35 m →
2 845 m²		 N 79.941197°
W 27.188416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424472808837891 y=0.113193511962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424472808837891 × 217)
    floor (0.424472808837891 × 131072)
    floor (55636.5)     		tx = 55636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113193511962891 × 217)
    floor (0.113193511962891 × 131072)
    floor (14836.5)     		ty = 14836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55636 / 14836 ti = "17/55636/14836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55636/14836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55636 ÷ 217
    55636 ÷ 131072     		x = 0.424468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14836 ÷ 217
    14836 ÷ 131072     		y = 0.113189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.15106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47457531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113189697265625 × 2 - 1) × π
    0.77362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43040081073685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47457531} λ = -0.47457531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43040081073685))-π/2
    2×atan(11.3634357544175)-π/2
    2×1.48302089286087-π/2
    2.96604178572175-1.57079632675     		φ = 1.39524546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47457531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.191162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39524546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.941676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55636 KachelY 14836 -0.47457531 1.39524546 -27.191162 79.941676
    Oben rechts KachelX + 1 55637 KachelY 14836 -0.47452737 1.39524546 -27.188416 79.941676
    Unten links KachelX 55636 KachelY + 1 14837 -0.47457531 1.39523709 -27.191162 79.941197
    Unten rechts KachelX + 1 55637 KachelY + 1 14837 -0.47452737 1.39523709 -27.188416 79.941197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39524546-1.39523709) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dl = 53.3252699998712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39524546-1.39523709) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dr = 53.3252699998712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47457531--0.47452737) × cos(1.39524546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174650564301573 × 6371000     		do = 53.3427778431905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47457531--0.47452737) × cos(1.39523709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174658805652565 × 6371000     		du = 53.3452949639159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39524546)-sin(1.39523709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174650564301573-0.174658805652565)×R²
    abs(-0.47452737--0.47457531)×8.24135099228296e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.24135099228296e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.24135099228296e-06×40589641000000     		ar = 2844.58514415382m²