Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55634 / 15527
↖ ↑ ↗
← N 79.604746°
W 27.196655°		 ← 55.11 m → N 79.604746°
W 27.193909°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.604251°
W 27.196655°		 ← 55.11 m →
3 037 m²		 N 79.604251°
W 27.193909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424457550048828 y=0.118465423583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424457550048828 × 217)
    floor (0.424457550048828 × 131072)
    floor (55634.5)     		tx = 55634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118465423583984 × 217)
    floor (0.118465423583984 × 131072)
    floor (15527.5)     		ty = 15527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55634 / 15527 ti = "17/55634/15527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55634/15527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55634 ÷ 217
    55634 ÷ 131072     		x = 0.424453735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15527 ÷ 217
    15527 ÷ 131072     		y = 0.118461608886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424453735351562 × 2 - 1) × π
    -0.151092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47467118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118461608886719 × 2 - 1) × π
    0.763076782226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.39727641309939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47467118} λ = -0.47467118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39727641309939))-π/2
    2×atan(10.993194649307)-π/2
    2×1.48008062378273-π/2
    2.96016124756545-1.57079632675     		φ = 1.38936492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47467118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.196655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38936492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.604746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55634 KachelY 15527 -0.47467118 1.38936492 -27.196655 79.604746
    Oben rechts KachelX + 1 55635 KachelY 15527 -0.47462324 1.38936492 -27.193909 79.604746
    Unten links KachelX 55634 KachelY + 1 15528 -0.47467118 1.38935627 -27.196655 79.604251
    Unten rechts KachelX + 1 55635 KachelY + 1 15528 -0.47462324 1.38935627 -27.193909 79.604251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38936492-1.38935627) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38936492-1.38935627) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47467118--0.47462324) × cos(1.38936492) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180437670082797 × 6371000     		do = 55.1103089089418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47467118--0.47462324) × cos(1.38935627) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180446178098587 × 6371000     		du = 55.1129074759603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38936492)-sin(1.38935627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180437670082797-0.180446178098587)×R²
    abs(-0.47462324--0.47467118)×8.50801578961002e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.50801578961002e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.50801578961002e-06×40589641000000     		ar = 3037.15388255948m²