Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55633 / 17360
↖ ↑ ↗
← N 78.655967°
W 27.199402°		 ← 60.08 m → N 78.655967°
W 27.196655°		 →
↑
60.08 m
↓
↑
60.08 m
↓
N 78.655427°
W 27.199402°		 ← 60.08 m →
3 609 m²		 N 78.655427°
W 27.196655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424449920654297 y=0.132450103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424449920654297 × 217)
    floor (0.424449920654297 × 131072)
    floor (55633.5)     		tx = 55633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132450103759766 × 217)
    floor (0.132450103759766 × 131072)
    floor (17360.5)     		ty = 17360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55633 / 17360 ti = "17/55633/17360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55633/17360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55633 ÷ 217
    55633 ÷ 131072     		x = 0.424446105957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17360 ÷ 217
    17360 ÷ 131072     		y = 0.1324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424446105957031 × 2 - 1) × π
    -0.151107788085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47471912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1324462890625 × 2 - 1) × π
    0.735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30940807609583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47471912} λ = -0.47471912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30940807609583))-π/2
    2×atan(10.0684631267991)-π/2
    2×1.47180096303577-π/2
    2.94360192607154-1.57079632675     		φ = 1.37280560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47471912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.199402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37280560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.655967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55633 KachelY 17360 -0.47471912 1.37280560 -27.199402 78.655967
    Oben rechts KachelX + 1 55634 KachelY 17360 -0.47467118 1.37280560 -27.196655 78.655967
    Unten links KachelX 55633 KachelY + 1 17361 -0.47471912 1.37279617 -27.199402 78.655427
    Unten rechts KachelX + 1 55634 KachelY + 1 17361 -0.47467118 1.37279617 -27.196655 78.655427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37280560-1.37279617) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dl = 60.0785299998532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37280560-1.37279617) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dr = 60.0785299998532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47471912--0.47467118) × cos(1.37280560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196699709574332 × 6371000     		do = 60.0771543544861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47471912--0.47467118) × cos(1.37279617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196708955339033 × 6371000     		du = 60.0799782490118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37280560)-sin(1.37279617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196699709574332-0.196708955339033)×R²
    abs(-0.47467118--0.47471912)×9.24576470121008e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.24576470121008e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.24576470121008e-06×40589641000000     		ar = 3609.43194801212m²