Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55631 / 42961
↖ ↑ ↗
← N 52.561326°
W 27.204895°		 ← 185.67 m → N 52.561326°
W 27.202148°		 →
↑
185.65 m
↓
↑
185.65 m
↓
N 52.559656°
W 27.204895°		 ← 185.68 m →
34 471 m²		 N 52.559656°
W 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424434661865234 y=0.327770233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424434661865234 × 217)
    floor (0.424434661865234 × 131072)
    floor (55631.5)     		tx = 55631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327770233154297 × 217)
    floor (0.327770233154297 × 131072)
    floor (42961.5)     		ty = 42961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55631 / 42961 ti = "17/55631/42961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55631/42961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55631 ÷ 217
    55631 ÷ 131072     		x = 0.424430847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42961 ÷ 217
    42961 ÷ 131072     		y = 0.327766418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424430847167969 × 2 - 1) × π
    -0.151138305664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.47481499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327766418457031 × 2 - 1) × π
    0.344467163085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08217550892277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47481499} λ = -0.47481499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08217550892277))-π/2
    2×atan(2.95109270110676)-π/2
    2×1.24408225703361-π/2
    2.48816451406722-1.57079632675     		φ = 0.91736819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47481499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.204895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91736819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.561326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55631 KachelY 42961 -0.47481499 0.91736819 -27.204895 52.561326
    Oben rechts KachelX + 1 55632 KachelY 42961 -0.47476705 0.91736819 -27.202148 52.561326
    Unten links KachelX 55631 KachelY + 1 42962 -0.47481499 0.91733905 -27.204895 52.559656
    Unten rechts KachelX + 1 55632 KachelY + 1 42962 -0.47476705 0.91733905 -27.202148 52.559656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91736819-0.91733905) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dl = 185.650939999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91736819-0.91733905) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dr = 185.650939999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47481499--0.47476705) × cos(0.91736819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607911928443529 × 6371000     		do = 185.67195059957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47481499--0.47476705) × cos(0.91733905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607935065475477 × 6371000     		du = 185.679017244674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91736819)-sin(0.91733905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607911928443529-0.607935065475477)×R²
    abs(-0.47476705--0.47481499)×2.31370319473401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31370319473401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31370319473401e-05×40589641000000     		ar = 34470.8281275883m²