Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55628 / 14844
↖ ↑ ↗
← N 79.937838°
W 27.213135°		 ← 53.36 m → N 79.937838°
W 27.210388°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
N 79.937358°
W 27.213135°		 ← 53.37 m →
2 849 m²		 N 79.937358°
W 27.210388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424411773681641 y=0.113254547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424411773681641 × 217)
    floor (0.424411773681641 × 131072)
    floor (55628.5)     		tx = 55628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113254547119141 × 217)
    floor (0.113254547119141 × 131072)
    floor (14844.5)     		ty = 14844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55628 / 14844 ti = "17/55628/14844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55628/14844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55628 ÷ 217
    55628 ÷ 131072     		x = 0.424407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14844 ÷ 217
    14844 ÷ 131072     		y = 0.113250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.15118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47495880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113250732421875 × 2 - 1) × π
    0.77349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43001731553989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47495880} λ = -0.47495880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43001731553989))-π/2
    2×atan(11.35907876688)-π/2
    2×1.48298739771091-π/2
    2.96597479542183-1.57079632675     		φ = 1.39517847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47495880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.213135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39517847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.937838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55628 KachelY 14844 -0.47495880 1.39517847 -27.213135 79.937838
    Oben rechts KachelX + 1 55629 KachelY 14844 -0.47491086 1.39517847 -27.210388 79.937838
    Unten links KachelX 55628 KachelY + 1 14845 -0.47495880 1.39517009 -27.213135 79.937358
    Unten rechts KachelX + 1 55629 KachelY + 1 14845 -0.47491086 1.39517009 -27.210388 79.937358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39517847-1.39517009) × R
    8.38000000014105e-06 × 6371000     		dl = 53.3889800008986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39517847-1.39517009) × R
    8.38000000014105e-06 × 6371000     		dr = 53.3889800008986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47495880--0.47491086) × cos(1.39517847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174716524305433 × 6371000     		do = 53.3629237262416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47495880--0.47491086) × cos(1.39517009) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.17472477540465 × 6371000     		du = 53.3654438243258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39517847)-sin(1.39517009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174716524305433-0.17472477540465)×R²
    abs(-0.47491086--0.47495880)×8.25109921709366e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.25109921709366e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.25109921709366e-06×40589641000000     		ar = 2849.05934029081m²