Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55628 / 14843
↖ ↑ ↗
← N 79.938318°
W 27.213135°		 ← 53.36 m → N 79.938318°
W 27.210388°		 →
↑
53.33 m
↓
↑
53.33 m
↓
N 79.937838°
W 27.213135°		 ← 53.36 m →
2 846 m²		 N 79.937838°
W 27.210388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424411773681641 y=0.113246917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424411773681641 × 217)
    floor (0.424411773681641 × 131072)
    floor (55628.5)     		tx = 55628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113246917724609 × 217)
    floor (0.113246917724609 × 131072)
    floor (14843.5)     		ty = 14843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55628 / 14843 ti = "17/55628/14843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55628/14843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55628 ÷ 217
    55628 ÷ 131072     		x = 0.424407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14843 ÷ 217
    14843 ÷ 131072     		y = 0.113243103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.15118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47495880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113243103027344 × 2 - 1) × π
    0.773513793945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.43006525243951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47495880} λ = -0.47495880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43006525243951))-π/2
    2×atan(11.3596232989502)-π/2
    2×1.48299158529636-π/2
    2.96598317059273-1.57079632675     		φ = 1.39518684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47495880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.213135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39518684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.938318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55628 KachelY 14843 -0.47495880 1.39518684 -27.213135 79.938318
    Oben rechts KachelX + 1 55629 KachelY 14843 -0.47491086 1.39518684 -27.210388 79.938318
    Unten links KachelX 55628 KachelY + 1 14844 -0.47495880 1.39517847 -27.213135 79.937838
    Unten rechts KachelX + 1 55629 KachelY + 1 14844 -0.47491086 1.39517847 -27.210388 79.937838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39518684-1.39517847) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dl = 53.3252699998712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39518684-1.39517847) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dr = 53.3252699998712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47495880--0.47491086) × cos(1.39518684) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174708283040149 × 6371000     		do = 53.3604066316937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47495880--0.47491086) × cos(1.39517847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174716524305433 × 6371000     		du = 53.3629237262416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39518684)-sin(1.39517847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174708283040149-0.174716524305433)×R²
    abs(-0.47491086--0.47495880)×8.24126528389812e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.24126528389812e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.24126528389812e-06×40589641000000     		ar = 2845.52520328735m²