Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55627 / 15431
↖ ↑ ↗
← N 79.652215°
W 27.215881°		 ← 54.86 m → N 79.652215°
W 27.213135°		 →
↑
54.85 m
↓
↑
54.85 m
↓
N 79.651722°
W 27.215881°		 ← 54.86 m →
3 009 m²		 N 79.651722°
W 27.213135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424404144287109 y=0.117733001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424404144287109 × 217)
    floor (0.424404144287109 × 131072)
    floor (55627.5)     		tx = 55627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117733001708984 × 217)
    floor (0.117733001708984 × 131072)
    floor (15431.5)     		ty = 15431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55627 / 15431 ti = "17/55627/15431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55627/15431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55627 ÷ 217
    55627 ÷ 131072     		x = 0.424400329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15431 ÷ 217
    15431 ÷ 131072     		y = 0.117729187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424400329589844 × 2 - 1) × π
    -0.151199340820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.47500674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117729187011719 × 2 - 1) × π
    0.764541625976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.40187835546291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47500674} λ = -0.47500674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40187835546291))-π/2
    2×atan(11.0439012824876)-π/2
    2×1.48049486738735-π/2
    2.96098973477469-1.57079632675     		φ = 1.39019341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47500674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.215881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39019341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.652215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55627 KachelY 15431 -0.47500674 1.39019341 -27.215881 79.652215
    Oben rechts KachelX + 1 55628 KachelY 15431 -0.47495880 1.39019341 -27.213135 79.652215
    Unten links KachelX 55627 KachelY + 1 15432 -0.47500674 1.39018480 -27.215881 79.651722
    Unten rechts KachelX + 1 55628 KachelY + 1 15432 -0.47495880 1.39018480 -27.213135 79.651722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39019341-1.39018480) × R
    8.60999999985346e-06 × 6371000     		dl = 54.8543099990664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39019341-1.39018480) × R
    8.60999999985346e-06 × 6371000     		dr = 54.8543099990664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47500674--0.47495880) × cos(1.39019341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179622716736423 × 6371000     		do = 54.8614011799963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47500674--0.47495880) × cos(1.39018480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179631186693057 × 6371000     		du = 54.8639881227691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39019341)-sin(1.39018480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179622716736423-0.179631186693057)×R²
    abs(-0.47495880--0.47500674)×8.46995663433825e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.46995663433825e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.46995663433825e-06×40589641000000     		ar = 3009.45525967871m²