Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55616 / 17217
↖ ↑ ↗
← N 78.732964°
W 27.246094°		 ← 59.66 m → N 78.732964°
W 27.243347°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.732427°
W 27.246094°		 ← 59.67 m →
3 562 m²		 N 78.732427°
W 27.243347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424320220947266 y=0.131359100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424320220947266 × 217)
    floor (0.424320220947266 × 131072)
    floor (55616.5)     		tx = 55616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131359100341797 × 217)
    floor (0.131359100341797 × 131072)
    floor (17217.5)     		ty = 17217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55616 / 17217 ti = "17/55616/17217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55616/17217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55616 ÷ 217
    55616 ÷ 131072     		x = 0.42431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17217 ÷ 217
    17217 ÷ 131072     		y = 0.131355285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131355285644531 × 2 - 1) × π
    0.737289428710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.31626305274149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47553404} λ = -0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31626305274149))-π/2
    2×atan(10.1377193099506)-π/2
    2×1.47247288823966-π/2
    2.94494577647932-1.57079632675     		φ = 1.37414945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37414945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.732964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55616 KachelY 17217 -0.47553404 1.37414945 -27.246094 78.732964
    Oben rechts KachelX + 1 55617 KachelY 17217 -0.47548611 1.37414945 -27.243347 78.732964
    Unten links KachelX 55616 KachelY + 1 17218 -0.47553404 1.37414008 -27.246094 78.732427
    Unten rechts KachelX + 1 55617 KachelY + 1 17218 -0.47548611 1.37414008 -27.243347 78.732427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37414945-1.37414008) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dl = 59.6962699993471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37414945-1.37414008) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dr = 59.6962699993471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47553404--0.47548611) × cos(1.37414945) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.195381936106709 × 6371000     		do = 59.6622246348424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47553404--0.47548611) × cos(1.37414008) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.195391125512274 × 6371000     		du = 59.6650307303802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37414945)-sin(1.37414008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195381936106709-0.195391125512274)×R²
    abs(-0.47548611--0.47553404)×9.18940556493553e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.18940556493553e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.18940556493553e-06×40589641000000     		ar = 3561.6960273898m²