Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55612 / 17300
↖ ↑ ↗
← N 78.688336°
W 27.257080°		 ← 59.91 m → N 78.688336°
W 27.254333°		 →
↑
59.89 m
↓
↑
59.89 m
↓
N 78.687798°
W 27.257080°		 ← 59.91 m →
3 588 m²		 N 78.687798°
W 27.254333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424289703369141 y=0.131992340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424289703369141 × 217)
    floor (0.424289703369141 × 131072)
    floor (55612.5)     		tx = 55612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131992340087891 × 217)
    floor (0.131992340087891 × 131072)
    floor (17300.5)     		ty = 17300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55612 / 17300 ti = "17/55612/17300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55612/17300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55612 ÷ 217
    55612 ÷ 131072     		x = 0.424285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17300 ÷ 217
    17300 ÷ 131072     		y = 0.131988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.15142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47572579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131988525390625 × 2 - 1) × π
    0.73602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31228429007303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47572579} λ = -0.47572579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31228429007303))-π/2
    2×atan(10.0974638673483)-π/2
    2×1.472083439766-π/2
    2.944166879532-1.57079632675     		φ = 1.37337055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47572579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.257080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37337055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.688336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55612 KachelY 17300 -0.47572579 1.37337055 -27.257080 78.688336
    Oben rechts KachelX + 1 55613 KachelY 17300 -0.47567785 1.37337055 -27.254333 78.688336
    Unten links KachelX 55612 KachelY + 1 17301 -0.47572579 1.37336115 -27.257080 78.687798
    Unten rechts KachelX + 1 55613 KachelY + 1 17301 -0.47567785 1.37336115 -27.254333 78.687798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37337055-1.37336115) × R
    9.39999999993724e-06 × 6371000     		dl = 59.8873999996001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37337055-1.37336115) × R
    9.39999999993724e-06 × 6371000     		dr = 59.8873999996001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47572579--0.47567785) × cos(1.37337055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196145765201007 × 6371000     		do = 59.9079654843446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47572579--0.47567785) × cos(1.37336115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196154982594984 × 6371000     		du = 59.9107807137208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37337055)-sin(1.37336115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196145765201007-0.196154982594984)×R²
    abs(-0.47567785--0.47572579)×9.21739397666266e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.21739397666266e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.21739397666266e-06×40589641000000     		ar = 3587.81659054025m²