Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5561 / 11958
↖ ↑ ↗
← S 63.450509°
W 57.810058°		 ← 1 092.05 m → S 63.450509°
W 57.788086°		 →
↑
1 091.86 m
↓
↑
1 091.86 m
↓
S 63.460329°
W 57.810058°		 ← 1 091.67 m →
1 192 158 m²		 S 63.460329°
W 57.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339447021484375 y=0.729888916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339447021484375 × 214)
    floor (0.339447021484375 × 16384)
    floor (5561.5)     		tx = 5561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729888916015625 × 214)
    floor (0.729888916015625 × 16384)
    floor (11958.5)     		ty = 11958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5561 / 11958 ti = "14/5561/11958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5561/11958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5561 ÷ 214
    5561 ÷ 16384     		x = 0.33941650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11958 ÷ 214
    11958 ÷ 16384     		y = 0.7298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33941650390625 × 2 - 1) × π
    -0.3211669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00897586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44424291175305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00897586} λ = -1.00897586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44424291175305))-π/2
    2×atan(0.235924624719518)-π/2
    2×0.231688014446108-π/2
    0.463376028892216-1.57079632675     		φ = -1.10742030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00897586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.810058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10742030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.450509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5561 KachelY 11958 -1.00897586 -1.10742030 -57.810058 -63.450509
    Oben rechts KachelX + 1 5562 KachelY 11958 -1.00859237 -1.10742030 -57.788086 -63.450509
    Unten links KachelX 5561 KachelY + 1 11959 -1.00897586 -1.10759168 -57.810058 -63.460329
    Unten rechts KachelX + 1 5562 KachelY + 1 11959 -1.00859237 -1.10759168 -57.788086 -63.460329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10742030--1.10759168) × R
    0.000171380000000054 × 6371000     		dl = 1091.86198000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10742030--1.10759168) × R
    0.000171380000000054 × 6371000     		dr = 1091.86198000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00897586--1.00859237) × cos(-1.10742030) × R
    0.000383490000000153 × 0.446970668500844 × 6371000     		do = 1092.04534797788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00897586--1.00859237) × cos(-1.10759168) × R
    0.000383490000000153 × 0.446817354196241 × 6371000     		du = 1091.67076820136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10742030)-sin(-1.10759168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446970668500844-0.446817354196241)×R²
    abs(-1.00859237--1.00897586)×0.000153314304602525×R²
    0.000383490000000153×0.000153314304602525×6371000²
    0.000383490000000153×0.000153314304602525×40589641000000     		ar = 1192158.3041025m²