Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55608 / 15432
↖ ↑ ↗
← N 79.651722°
W 27.268066°		 ← 54.86 m → N 79.651722°
W 27.265320°		 →
↑
54.85 m
↓
↑
54.85 m
↓
N 79.651228°
W 27.268066°		 ← 54.87 m →
3 010 m²		 N 79.651228°
W 27.265320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424259185791016 y=0.117740631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424259185791016 × 217)
    floor (0.424259185791016 × 131072)
    floor (55608.5)     		tx = 55608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117740631103516 × 217)
    floor (0.117740631103516 × 131072)
    floor (15432.5)     		ty = 15432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55608 / 15432 ti = "17/55608/15432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55608/15432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55608 ÷ 217
    55608 ÷ 131072     		x = 0.42425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15432 ÷ 217
    15432 ÷ 131072     		y = 0.11773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.1514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47591754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11773681640625 × 2 - 1) × π
    0.7645263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40183041856329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47591754} λ = -0.47591754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40183041856329))-π/2
    2×atan(11.0433718847894)-π/2
    2×1.48049056200771-π/2
    2.96098112401543-1.57079632675     		φ = 1.39018480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47591754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.268066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39018480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.651722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55608 KachelY 15432 -0.47591754 1.39018480 -27.268066 79.651722
    Oben rechts KachelX + 1 55609 KachelY 15432 -0.47586960 1.39018480 -27.265320 79.651722
    Unten links KachelX 55608 KachelY + 1 15433 -0.47591754 1.39017619 -27.268066 79.651228
    Unten rechts KachelX + 1 55609 KachelY + 1 15433 -0.47586960 1.39017619 -27.265320 79.651228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39018480-1.39017619) × R
    8.6100000000755e-06 × 6371000     		dl = 54.854310000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39018480-1.39017619) × R
    8.6100000000755e-06 × 6371000     		dr = 54.854310000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47591754--0.47586960) × cos(1.39018480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179631186693057 × 6371000     		do = 54.8639881227691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47591754--0.47586960) × cos(1.39017619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179639656636375 × 6371000     		du = 54.8665750614748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39018480)-sin(1.39017619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179631186693057-0.179639656636375)×R²
    abs(-0.47586960--0.47591754)×8.469943318129e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.469943318129e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.469943318129e-06×40589641000000     		ar = 3009.59716486532m²