Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55605 / 17876
↖ ↑ ↗
← N 78.373790°
W 27.276306°		 ← 61.55 m → N 78.373790°
W 27.273559°		 →
↑
61.54 m
↓
↑
61.54 m
↓
N 78.373237°
W 27.276306°		 ← 61.55 m →
3 788 m²		 N 78.373237°
W 27.273559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424236297607422 y=0.136386871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424236297607422 × 217)
    floor (0.424236297607422 × 131072)
    floor (55605.5)     		tx = 55605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136386871337891 × 217)
    floor (0.136386871337891 × 131072)
    floor (17876.5)     		ty = 17876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55605 / 17876 ti = "17/55605/17876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55605/17876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55605 ÷ 217
    55605 ÷ 131072     		x = 0.424232482910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17876 ÷ 217
    17876 ÷ 131072     		y = 0.136383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424232482910156 × 2 - 1) × π
    -0.151535034179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.47606135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136383056640625 × 2 - 1) × π
    0.72723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28467263589188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47606135} λ = -0.47606135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28467263589188))-π/2
    2×atan(9.82247017344842)-π/2
    2×1.46933850654594-π/2
    2.93867701309188-1.57079632675     		φ = 1.36788069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47606135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.276306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36788069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.373790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55605 KachelY 17876 -0.47606135 1.36788069 -27.276306 78.373790
    Oben rechts KachelX + 1 55606 KachelY 17876 -0.47601341 1.36788069 -27.273559 78.373790
    Unten links KachelX 55605 KachelY + 1 17877 -0.47606135 1.36787103 -27.276306 78.373237
    Unten rechts KachelX + 1 55606 KachelY + 1 17877 -0.47601341 1.36787103 -27.273559 78.373237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36788069-1.36787103) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dl = 61.5438599994356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36788069-1.36787103) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dr = 61.5438599994356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47606135--0.47601341) × cos(1.36788069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201526000485042 × 6371000     		do = 61.551227827344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47606135--0.47601341) × cos(1.36787103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201535462283016 × 6371000     		du = 61.5541177039919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36788069)-sin(1.36787103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201526000485042-0.201535462283016)×R²
    abs(-0.47601341--0.47606135)×9.46179797392532e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.46179797392532e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.46179797392532e-06×40589641000000     		ar = 3788.18907529528m²