Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55600 / 42672
↖ ↑ ↗
← N 53.041213°
W 27.290039°		 ← 183.60 m → N 53.041213°
W 27.287293°		 →
↑
183.68 m
↓
↑
183.68 m
↓
N 53.039561°
W 27.290039°		 ← 183.60 m →
33 723 m²		 N 53.039561°
W 27.287293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424198150634766 y=0.325565338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424198150634766 × 217)
    floor (0.424198150634766 × 131072)
    floor (55600.5)     		tx = 55600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325565338134766 × 217)
    floor (0.325565338134766 × 131072)
    floor (42672.5)     		ty = 42672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55600 / 42672 ti = "17/55600/42672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55600/42672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55600 ÷ 217
    55600 ÷ 131072     		x = 0.4241943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42672 ÷ 217
    42672 ÷ 131072     		y = 0.3255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4241943359375 × 2 - 1) × π
    -0.151611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47630103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3255615234375 × 2 - 1) × π
    0.348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09602927291296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47630103} λ = -0.47630103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09602927291296))-π/2
    2×atan(2.99226095207881)-π/2
    2×1.24827006679451-π/2
    2.49654013358902-1.57079632675     		φ = 0.92574381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47630103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.290039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92574381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.041213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55600 KachelY 42672 -0.47630103 0.92574381 -27.290039 53.041213
    Oben rechts KachelX + 1 55601 KachelY 42672 -0.47625310 0.92574381 -27.287293 53.041213
    Unten links KachelX 55600 KachelY + 1 42673 -0.47630103 0.92571498 -27.290039 53.039561
    Unten rechts KachelX + 1 55601 KachelY + 1 42673 -0.47625310 0.92571498 -27.287293 53.039561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92574381-0.92571498) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dl = 183.675929999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92574381-0.92571498) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dr = 183.675929999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47630103--0.47625310) × cos(0.92574381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601240403843528 × 6371000     		do = 183.595990235792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47630103--0.47625310) × cos(0.92571498) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601263440729657 × 6371000     		du = 183.603024826105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92574381)-sin(0.92571498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601240403843528-0.601263440729657)×R²
    abs(-0.47625310--0.47630103)×2.30368861298125e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30368861298125e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30368861298125e-05×40589641000000     		ar = 33722.8102955928m²