Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55600 / 18096
↖ ↑ ↗
← N 78.251388°
W 27.290039°		 ← 62.18 m → N 78.251388°
W 27.287293°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.250829°
W 27.290039°		 ← 62.18 m →
3 866 m²		 N 78.250829°
W 27.287293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424198150634766 y=0.138065338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424198150634766 × 217)
    floor (0.424198150634766 × 131072)
    floor (55600.5)     		tx = 55600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138065338134766 × 217)
    floor (0.138065338134766 × 131072)
    floor (18096.5)     		ty = 18096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55600 / 18096 ti = "17/55600/18096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55600/18096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55600 ÷ 217
    55600 ÷ 131072     		x = 0.4241943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18096 ÷ 217
    18096 ÷ 131072     		y = 0.1380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4241943359375 × 2 - 1) × π
    -0.151611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47630103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1380615234375 × 2 - 1) × π
    0.723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27412651797546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47630103} λ = -0.47630103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27412651797546))-π/2
    2×atan(9.71942556014529)-π/2
    2×1.46827034141225-π/2
    2.9365406828245-1.57079632675     		φ = 1.36574436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47630103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.290039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36574436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.251388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55600 KachelY 18096 -0.47630103 1.36574436 -27.290039 78.251388
    Oben rechts KachelX + 1 55601 KachelY 18096 -0.47625310 1.36574436 -27.287293 78.251388
    Unten links KachelX 55600 KachelY + 1 18097 -0.47630103 1.36573460 -27.290039 78.250829
    Unten rechts KachelX + 1 55601 KachelY + 1 18097 -0.47625310 1.36573460 -27.287293 78.250829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36574436-1.36573460) × R
    9.76000000019184e-06 × 6371000     		dl = 62.1809600012222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36574436-1.36573460) × R
    9.76000000019184e-06 × 6371000     		dr = 62.1809600012222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47630103--0.47625310) × cos(1.36574436) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203618038291257 × 6371000     		do = 62.1772175172741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47630103--0.47625310) × cos(1.36573460) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203627593813507 × 6371000     		du = 62.180135410946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36574436)-sin(1.36573460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203618038291257-0.203627593813507)×R²
    abs(-0.47625310--0.47630103)×9.55552224954359e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.55552224954359e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.55552224954359e-06×40589641000000     		ar = 3866.3297941814m²