Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5560 / 11948
↖ ↑ ↗
← S 63.352129°
W 57.832031°		 ← 1 095.83 m → S 63.352129°
W 57.810058°		 →
↑
1 095.62 m
↓
↑
1 095.62 m
↓
S 63.361982°
W 57.832031°		 ← 1 095.45 m →
1 200 403 m²		 S 63.361982°
W 57.810058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339385986328125 y=0.729278564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339385986328125 × 214)
    floor (0.339385986328125 × 16384)
    floor (5560.5)     		tx = 5560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729278564453125 × 214)
    floor (0.729278564453125 × 16384)
    floor (11948.5)     		ty = 11948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5560 / 11948 ti = "14/5560/11948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5560/11948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5560 ÷ 214
    5560 ÷ 16384     		x = 0.33935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11948 ÷ 214
    11948 ÷ 16384     		y = 0.729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33935546875 × 2 - 1) × π
    -0.3212890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00935936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.45849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44040795978345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00935936} λ = -1.00935936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44040795978345))-π/2
    2×atan(0.2368311213984)-π/2
    2×0.232546541319808-π/2
    0.465093082639616-1.57079632675     		φ = -1.10570324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00935936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.832031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10570324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.352129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5560 KachelY 11948 -1.00935936 -1.10570324 -57.832031 -63.352129
    Oben rechts KachelX + 1 5561 KachelY 11948 -1.00897586 -1.10570324 -57.810058 -63.352129
    Unten links KachelX 5560 KachelY + 1 11949 -1.00935936 -1.10587521 -57.832031 -63.361982
    Unten rechts KachelX + 1 5561 KachelY + 1 11949 -1.00897586 -1.10587521 -57.810058 -63.361982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10570324--1.10587521) × R
    0.000171970000000021 × 6371000     		dl = 1095.62087000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10570324--1.10587521) × R
    0.000171970000000021 × 6371000     		dr = 1095.62087000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00935936--1.00897586) × cos(-1.10570324) × R
    0.00038349999999987 × 0.44850600248744 × 6371000     		do = 1095.82507299814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00935936--1.00897586) × cos(-1.10587521) × R
    0.00038349999999987 × 0.448352292540653 × 6371000     		du = 1095.44951678992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10570324)-sin(-1.10587521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44850600248744-0.448352292540653)×R²
    abs(-1.00897586--1.00935936)×0.000153709946787317×R²
    0.00038349999999987×0.000153709946787317×6371000²
    0.00038349999999987×0.000153709946787317×40589641000000     		ar = 1200403.08919518m²