Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 556 / 722
↖ ↑ ↗
← N 75.095633°
W131.132813°		 ← 2 513.69 m → N 75.095633°
W131.044922°		 →
↑
2 515.59 m
↓
↑
2 515.59 m
↓
N 75.073010°
W131.132813°		 ← 2 517.42 m →
6 328 106 m²		 N 75.073010°
W131.044922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1358642578125 y=0.1763916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1358642578125 × 212)
    floor (0.1358642578125 × 4096)
    floor (556.5)     		tx = 556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1763916015625 × 212)
    floor (0.1763916015625 × 4096)
    floor (722.5)     		ty = 722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 556 / 722 ti = "12/556/722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/556/722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 556 ÷ 212
    556 ÷ 4096     		x = 0.1357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 722 ÷ 212
    722 ÷ 4096     		y = 0.17626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1357421875 × 2 - 1) × π
    -0.728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28869934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17626953125 × 2 - 1) × π
    0.6474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03405852467822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28869934} λ = -2.28869934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03405852467822))-π/2
    2×atan(7.64505110926791)-π/2
    2×1.44073118588072-π/2
    2.88146237176145-1.57079632675     		φ = 1.31066605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28869934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.132813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31066605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.095633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 556 KachelY 722 -2.28869934 1.31066605 -131.132813 75.095633
    Oben rechts KachelX + 1 557 KachelY 722 -2.28716535 1.31066605 -131.044922 75.095633
    Unten links KachelX 556 KachelY + 1 723 -2.28869934 1.31027120 -131.132813 75.073010
    Unten rechts KachelX + 1 557 KachelY + 1 723 -2.28716535 1.31027120 -131.044922 75.073010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31066605-1.31027120) × R
    0.000394849999999947 × 6371000     		dl = 2515.58934999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31066605-1.31027120) × R
    0.000394849999999947 × 6371000     		dr = 2515.58934999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28869934--2.28716535) × cos(1.31066605) × R
    0.00153398999999999 × 0.257206447899179 × 6371000     		do = 2513.69155023092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28869934--2.28716535) × cos(1.31027120) × R
    0.00153398999999999 × 0.257587993694642 × 6371000     		du = 2517.42041647791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31066605)-sin(1.31027120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257206447899179-0.257587993694642)×R²
    abs(-2.28716535--2.28869934)×0.000381545795462124×R²
    0.00153398999999999×0.000381545795462124×6371000²
    0.00153398999999999×0.000381545795462124×40589641000000     		ar = 6328105.92326958m²