Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 556 / 1628
↖ ↑ ↗
← S 72.181803°
W 82.265625°		 ← 5 981.02 m → S 72.181803°
W 82.089844°		 →
↑
5 972.30 m
↓
↑
5 972.30 m
↓
S 72.235514°
W 82.265625°		 ← 5 963.58 m →
35 668 381 m²		 S 72.235514°
W 82.089844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271728515625 y=0.795166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271728515625 × 211)
    floor (0.271728515625 × 2048)
    floor (556.5)     		tx = 556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795166015625 × 211)
    floor (0.795166015625 × 2048)
    floor (1628.5)     		ty = 1628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 556 / 1628 ti = "11/556/1628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/556/1628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 556 ÷ 211
    556 ÷ 2048     		x = 0.271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1628 ÷ 211
    1628 ÷ 2048     		y = 0.794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271484375 × 2 - 1) × π
    -0.45703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43580602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794921875 × 2 - 1) × π
    -0.58984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85304879171289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43580602} λ = -1.43580602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85304879171289))-π/2
    2×atan(0.156758512971945)-π/2
    2×0.155493097363407-π/2
    0.310986194726815-1.57079632675     		φ = -1.25981013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43580602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25981013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.181803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 556 KachelY 1628 -1.43580602 -1.25981013 -82.265625 -72.181803
    Oben rechts KachelX + 1 557 KachelY 1628 -1.43273806 -1.25981013 -82.089844 -72.181803
    Unten links KachelX 556 KachelY + 1 1629 -1.43580602 -1.26074755 -82.265625 -72.235514
    Unten rechts KachelX + 1 557 KachelY + 1 1629 -1.43273806 -1.26074755 -82.089844 -72.235514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25981013--1.26074755) × R
    0.000937420000000078 × 6371000     		dl = 5972.30282000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25981013--1.26074755) × R
    0.000937420000000078 × 6371000     		dr = 5972.30282000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43580602--1.43273806) × cos(-1.25981013) × R
    0.00306796000000009 × 0.305997676257917 × 6371000     		do = 5981.02236715979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43580602--1.43273806) × cos(-1.26074755) × R
    0.00306796000000009 × 0.305105087859742 × 6371000     		du = 5963.57585828615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25981013)-sin(-1.26074755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305997676257917-0.305105087859742)×R²
    abs(-1.43273806--1.43580602)×0.000892588398174465×R²
    0.00306796000000009×0.000892588398174465×6371000²
    0.00306796000000009×0.000892588398174465×40589641000000     		ar = 35668381.4447876m²