Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55598 / 13202
↖ ↑ ↗
← N 80.696007°
W 27.295532°		 ← 49.38 m → N 80.696007°
W 27.292786°		 →
↑
49.38 m
↓
↑
49.38 m
↓
N 80.695563°
W 27.295532°		 ← 49.38 m →
2 438 m²		 N 80.695563°
W 27.292786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424182891845703 y=0.100727081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424182891845703 × 217)
    floor (0.424182891845703 × 131072)
    floor (55598.5)     		tx = 55598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100727081298828 × 217)
    floor (0.100727081298828 × 131072)
    floor (13202.5)     		ty = 13202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55598 / 13202 ti = "17/55598/13202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55598/13202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55598 ÷ 217
    55598 ÷ 131072     		x = 0.424179077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13202 ÷ 217
    13202 ÷ 131072     		y = 0.100723266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424179077148438 × 2 - 1) × π
    -0.151641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47639691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100723266601562 × 2 - 1) × π
    0.798553466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50872970471602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47639691} λ = -0.47639691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50872970471602))-π/2
    2×atan(12.2893090896082)-π/2
    2×1.48960367302444-π/2
    2.97920734604887-1.57079632675     		φ = 1.40841102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47639691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.295532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40841102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.696007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55598 KachelY 13202 -0.47639691 1.40841102 -27.295532 80.696007
    Oben rechts KachelX + 1 55599 KachelY 13202 -0.47634897 1.40841102 -27.292786 80.696007
    Unten links KachelX 55598 KachelY + 1 13203 -0.47639691 1.40840327 -27.295532 80.695563
    Unten rechts KachelX + 1 55599 KachelY + 1 13203 -0.47634897 1.40840327 -27.292786 80.695563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40841102-1.40840327) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dl = 49.3752499998283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40841102-1.40840327) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dr = 49.3752499998283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47639691--0.47634897) × cos(1.40841102) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.161672591093069 × 6371000     		do = 49.3789707723429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47639691--0.47634897) × cos(1.40840327) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.16168023913272 × 6371000     		du = 49.3813066805129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40841102)-sin(1.40840327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161672591093069-0.16168023913272)×R²
    abs(-0.47634897--0.47639691)×7.64803965100369e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.64803965100369e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.64803965100369e-06×40589641000000     		ar = 2438.15669459071m²