Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55596 / 44392
↖ ↑ ↗
← N 50.106488°
W 27.301025°		 ← 195.85 m → N 50.106488°
W 27.298279°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
N 50.104726°
W 27.301025°		 ← 195.86 m →
38 369 m²		 N 50.104726°
W 27.298279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424167633056641 y=0.338687896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424167633056641 × 217)
    floor (0.424167633056641 × 131072)
    floor (55596.5)     		tx = 55596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338687896728516 × 217)
    floor (0.338687896728516 × 131072)
    floor (44392.5)     		ty = 44392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55596 / 44392 ti = "17/55596/44392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55596/44392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55596 ÷ 217
    55596 ÷ 131072     		x = 0.424163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44392 ÷ 217
    44392 ÷ 131072     		y = 0.33868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.15167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47649278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33868408203125 × 2 - 1) × π
    0.3226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01357780556647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47649278} λ = -0.47649278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01357780556647))-π/2
    2×atan(2.75544183538525)-π/2
    2×1.22265975711717-π/2
    2.44531951423435-1.57079632675     		φ = 0.87452319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47649278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.301025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87452319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.106488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55596 KachelY 44392 -0.47649278 0.87452319 -27.301025 50.106488
    Oben rechts KachelX + 1 55597 KachelY 44392 -0.47644485 0.87452319 -27.298279 50.106488
    Unten links KachelX 55596 KachelY + 1 44393 -0.47649278 0.87449244 -27.301025 50.104726
    Unten rechts KachelX + 1 55597 KachelY + 1 44393 -0.47644485 0.87449244 -27.298279 50.104726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87452319-0.87449244) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87452319-0.87449244) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47649278--0.47644485) × cos(0.87452319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641362757702155 × 6371000     		do = 195.847833658448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47649278--0.47644485) × cos(0.87449244) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641386349960702 × 6371000     		du = 195.85503783841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87452319)-sin(0.87449244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641362757702155-0.641386349960702)×R²
    abs(-0.47644485--0.47649278)×2.35922585464232e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35922585464232e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35922585464232e-05×40589641000000     		ar = 38368.9120402984m²